Trong giải cờ vua giao hữu tại một trường THPT chào mừng ngày thành lập Đoàn 26/3, các vận động viên nam và nữ cùng tham gia thi đấu. Để đảm bảo tính công bằng, giúp mỗi kỳ thủ đều được cầm quân Trắng và quân Đen khi đối đầu với các đối thủ khác thì Ban tổ chức quy định thể thức thi đấu vòng tròn hai lượt tức là mỗi cặp vận động viên sẽ thi đấu với nhau đúng 2 ván. Biết rằng giải chỉ có 2 vận động viên nữ tham gia. Sau khi kết thúc giải, Ban tổ chức thống kê được số ván các vận động viên nam thi đấu với nhau nhiều hơn số ván họ thi đấu với các vận động viên nữ là 66 ván. Hỏi tổng số ván mà tất cả các vận động viên đã thi đấu là bao nhiêu?

Đáp án: 98,1

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Ta có phương trình đường tròn tâm \(N\) bán kính bằng \(2\,{\rm{cm}}\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\).

Suy ra phương trình cung tròn \(AIB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn \(IB\); trục hoành, \(x = 2;x = 4\) quanh trục hoành là \({V_1} = \pi \int\limits_2^4 {\left[ {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]dx = \frac{{16\pi }}{3}} \).

Ta có điểm \(I\)có tọa độ \(\left( {2;2} \right)\).

Ta có phương trình đường tròn tâm \(M\left( {0;2} \right)\) là \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) suy ra cung tròn  có phương trình là \(y = 2 + \sqrt {4 - {x^2}} \).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn ; trục hoành; \(x = 0;x = 2\) quanh trục hoành là \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \right]}^2}dx} \).

Thể tích của vật thể \(\left( {H1} \right)\) bằng \({V_1} + {V_2} \approx 98,1\).

Đáp án: a)S b)Đ c)Đ d)S

a) Sai.

Vectơ chỉ phương của \[\Delta \] là \[{\vec u_\Delta } = (3; - 4;1)\]. Kết luận: SAI.

b) Đúng

- Xét tích vô hướng: \[{\vec u_\Delta } \cdot {\vec n_P} = 3 \cdot 4 + ( - 4) \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 12 - 12 + 0 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta \parallel (P)\\\Delta  \subset (P)\end{array} \right..\]

- Lấy điểm \[A(50; - 20;10) \in \Delta \]. Thay tọa độ A vào (P): \[4.50 + 3.( - 20) - 140 = 200 - 60 - 140 = 0\] (Thỏa mãn).

Vì \[A \in (P)\]nên đường thẳng \[\Delta \] nằm trong mặt phẳng (P). Kết luận: ĐÚNG.

c) Đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {AC}  = (200 - 50; - 300 - ( - 20);60 - 10) = (150; - 280;50)\]; \[{\vec u_\Delta } = (3; - 4;1)\]

\[d(C,\Delta ) = \frac{{|[\overrightarrow {AC} ,{{\vec u}_\Delta }]|}}{{|{{\vec u}_\Delta }|}} = \frac{{\sqrt {{{( - 80)}^2} + {0^2} + {{240}^2}} }}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{80\sqrt {10} }}{{\sqrt {26} }} \approx 49,6{\mkern 1mu} (km)\]

Vì \[d(C,\Delta ) \approx 49,6 < R = 80\]nên máy bay sẽ bay xuyên qua khối mây. Kết luận: ĐÚNG.

d) Sai.

M là hình chiếu của C lên \[\Delta \], nên M thuộc \[\Delta \]. Tham số hóa tọa độ M:

\[M(50 + 3t; - 20 - 4t;10 + t) \Rightarrow \overrightarrow {CM}  = (3t - 150; - 4t + 280;t - 50).\]

Vì \[\overrightarrow {CM}  \bot {\vec u_\Delta }\] nên:

\[\begin{array}{l}3(3t - 150) - 4( - 4t + 280) + 1(t - 50) = 0\\ \Leftrightarrow 9t - 450 + 16t - 1120 + t - 50 = 0 \Leftrightarrow 26t = 1620 \Leftrightarrow t = \frac{{810}}{{13}}\end{array}\]

Quãng đường AM là: \[AM = \sqrt {{{(3t)}^2} + {{( - 4t)}^2} + {t^2}}  = |t|\sqrt {26}  = \frac{{810}}{{13}} \cdot \sqrt {26}  \approx 317,7{\mkern 1mu} (km)\]

Thời gian di chuyển T: \[T = \frac{S}{v} = \frac{{317,7}}{{500}} \approx 0,6354{\mkern 1mu} (h) \approx 38,1p > 30p\]

nên khẳng định thời gian nhỏ hơn 30 phút là sai. Kết luận: SAI.