Trong giải cờ vua giao hữu tại một trường THPT chào mừng ngày thành lập Đoàn 26/3, các vận động viên nam và nữ cùng tham gia thi đấu. Để đảm bảo tính công bằng, giúp mỗi kỳ thủ đều được cầm quân Trắng và quân Đen khi đối đầu với các đối thủ khác thì Ban tổ chức quy định thể thức thi đấu vòng tròn hai lượt tức là mỗi cặp vận động viên sẽ thi đấu với nhau đúng 2 ván. Biết rằng giải chỉ có 2 vận động viên nữ tham gia. Sau khi kết thúc giải, Ban tổ chức thống kê được số ván các vận động viên nam thi đấu với nhau nhiều hơn số ván họ thi đấu với các vận động viên nữ là 66 ván. Hỏi tổng số ván mà tất cả các vận động viên đã thi đấu là bao nhiêu?

Đáp án: 98,1

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Ta có phương trình đường tròn tâm \(N\) bán kính bằng \(2\,{\rm{cm}}\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\).

Suy ra phương trình cung tròn \(AIB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn \(IB\); trục hoành, \(x = 2;x = 4\) quanh trục hoành là \({V_1} = \pi \int\limits_2^4 {\left[ {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]dx = \frac{{16\pi }}{3}} \).

Ta có điểm \(I\)có tọa độ \(\left( {2;2} \right)\).

Ta có phương trình đường tròn tâm \(M\left( {0;2} \right)\) là \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) suy ra cung tròn  có phương trình là \(y = 2 + \sqrt {4 - {x^2}} \).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn ; trục hoành; \(x = 0;x = 2\) quanh trục hoành là \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \right]}^2}dx} \).

Thể tích của vật thể \(\left( {H1} \right)\) bằng \({V_1} + {V_2} \approx 98,1\).

a) Sai.

Số bút trong hộp An có 5 xanh và 5 đen. Xác suất lấy được bút xanh là:

\(P = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).

b) Đúng.

Sau khi An bỏ 1 bút vào, hộp Bình có 11 chiếc (trong đó có 1 chiếc của An).

Xác suất để Bình bốc trúng chiếc bút vừa được thêm vào đó là:

\(P = \frac{1}{{11}}\)

c) Đúng.

Ta dùng công thức xác suất đầy đủ. Gọi \(B\) là biến cố "Bình lấy được bút xanh".

 Trường hợp 1: An bỏ bút xanh vào hộp Bình \[P\left( X \right){\rm{ }} = \frac{1}{2}\]. Lúc này hộp Bình có \[7\]bút xanh trên tổng 11 bút. \[P(B|X) = \frac{7}{{11}}\]

 Trường hợp 2: An bỏ bút đen vào hộp Bình \[P(\bar X) = \frac{1}{2}\]. Lúc này hộp Bình vẫn chỉ có 6 bút xanh trên tổng 11 bút. \[P(B|\bar X) = \frac{6}{{11}}\]

Xác suất để Bình lấy được bút xanh là:

\[P(B) = P(X) \cdot P(B|X) + P(\bar X) \cdot P(B|\bar X) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\]

d) Đúng.

Tìm \[P({\rm{B\'u t An}}|B)\]

Gọi \[{A_x}\] là biến cố "Bình lấy được chiếc bút xanh mà chiếc đó là của An".

Điều này chỉ xảy ra khi An bỏ bút xanh vào (X) VÀ Bình bốc đúng chiếc đó.

\[P({A_x}) = P(X) \cdot \frac{1}{{11}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{11}} = \frac{1}{{22}}\]

Xác suất cần tìm:

\(P = \frac{{P({A_x})}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{{22}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{1}{{13}}\)