Trong giải cờ vua giao hữu tại một trường THPT chào mừng ngày thành lập Đoàn 26/3, các vận động viên nam và nữ cùng tham gia thi đấu. Để đảm bảo tính công bằng, giúp mỗi kỳ thủ đều được cầm quân Trắng và quân Đen khi đối đầu với các đối thủ khác thì Ban tổ chức quy định thể thức thi đấu vòng tròn hai lượt tức là mỗi cặp vận động viên sẽ thi đấu với nhau đúng 2 ván. Biết rằng giải chỉ có 2 vận động viên nữ tham gia. Sau khi kết thúc giải, Ban tổ chức thống kê được số ván các vận động viên nam thi đấu với nhau nhiều hơn số ván họ thi đấu với các vận động viên nữ là 66 ván. Hỏi tổng số ván mà tất cả các vận động viên đã thi đấu là bao nhiêu?

a) Đúng

Ta có:

\[y'\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}}y\left( x \right) \Rightarrow \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} =  - {7.10^{ - 4}}\]

Do đó: \[f'\left( x \right) = {\left( {\ln y\left( x \right)} \right)^\prime } = \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} =  - {7.10^{ - 4}}\].

b) Đúng

Ta có: \[f'\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}} \Rightarrow f\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}}x + C\]

Mà: \[f\left( 0 \right) = \ln y\left( 0 \right) = \ln \left( {0,05} \right) \Rightarrow C = \ln \left( {0,05} \right)\]

Vậy \[f\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}}x + \ln \left( {0,05} \right)\].

c) Sai

Ta có: \[f\left( x \right) = \ln y\left( x \right) \Rightarrow y\left( x \right) = {e^{f\left( x \right)}} = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln \left( {0,05} \right)}} = 0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}\]

Do đó: \[y\left( {30} \right) - y\left( {15} \right) = 0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.30}} - 0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.15}} \approx  - {5,2.10^{ - 4}}\].

d) Sai

Nồng độ trung bình của chất gây bọt trong khoảng thời gian từ giây thứ 20 đến giây thứ 30 là:

\[\overline y  = \frac{1}{{30 - 20}}\int\limits_{20}^{30} {0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}{\rm{d}}x}  \approx 0,05\] (mol/L).

Đáp án: 602

Tổng doanh thu: \(F\left( x \right) =  - 0,001{x^3} + 0,6{x^2} + 500x + 100000\).

Tổng chi phí sản xuất (điện, lương.): \(x \cdot G\left( x \right) = x\left( {0,0002{x^2} + \frac{{40000}}{x}} \right) = 0,0002{x^3} + 40000\)

Chi phí nguyên vật liệu sau khi giảm giá 2%:

\(0,98 \cdot H\left( x \right) = \frac{{49}}{{50}}\left( { - \frac{4}{{49}}{x^2} + \frac{{750}}{{49}}x + \frac{{1500000}}{{49}}} \right) =  - 0,08{x^2} + 15x + 30000\)

Tổng chi phí \(C\left( x \right)\):

\(C\left( x \right) = \left( {0,0002{x^3} + 40000} \right) + \left( { - 0,08{x^2} + 15x + 30000} \right) = 0,0002{x^3} - 0,08{x^2} + 15x + 70000\)

Lợi nhuận \(P\left( x \right)\):\(P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)\)

\(P\left( x \right) = \left( { - 0,001{x^3} + 0,6{x^2} + 500x + 100000} \right) - \left( {0,0002{x^3} - 0,08{x^2} + 15x + 70000} \right)\)

\(P\left( x \right) =  - 0,0012{x^3} + 0,68{x^2} + 485x + 30000\)

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(P\left( x \right)\) trên khoảng \(100 \le x \le 800\).

\(P\prime \left( x \right) =  - 0,0036{x^2} + 1,36x + 485\)

Giải phương trình \(P\prime \left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 0,0036{x^2} + 1,36x + 485 = 0\)

Nghiệm dương: \(x \approx 601,6857 \approx 602\)

Bảng biến thiên

Doanh nghiệp cần sản xuất \(602\) sản phẩm trong một tháng để đạt lợi nhuận lớn nhất.