Một hồ nước ở Bắc Ontario đã phục hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cả cá hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả 800 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng được ước tính là 6000 con. Sức chứa của hồ được cho là 8000 con. Để đánh giá khả năng tăng trưởng, người ta mô phỏng số lượng cá trong hồ qua từng năm thông qua hàm số \(P(t) = \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - t}}}}(a,b,c \in \mathbb{R})\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (trong đó \(t\) tính theo năm kể từ lúc bắt đầu thả cá vào hồ).

Sử dụng mô hình trên, hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị con/năm) của đàn cá (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 95.

Gắn trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol đi qua 3 điểm \(C,M,N\) là \(y = a{x^2} + bx + c,\quad (a \ne 0)\)

Trục đối xứng của parabol là \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow b =  - 4a\).

Ta có parabol đi qua các điểm \(M(2;8),C(8;0)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{{.2}^2} + 2b + c = 8}\\{a{{.8}^2} + 8b + c = 0}\\{b =  - 4a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b + c = 8}\\{64a + 8b + c = 0}\\{4a + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{2}{9}}\\{b = \frac{8}{9}}\\{c = \frac{{64}}{9}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình của parabol là \(y =  - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9}\).

Ta có \(y(0) =  - \frac{2}{9}{.0^2} + \frac{8}{9}.0 + \frac{{64}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right),C(8;0)\) là \(\frac{x}{8} + \frac{y}{{64/9}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{y}{{64/9}} = 1 - \frac{x}{8} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{x}{8} \cdot \frac{{64}}{9} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x.\)

Suy ra diện tích bể bơi bằng \(\int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9} - \left( {\frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^8 {\left( { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{{16}}{9}x} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{512}}{{27}}.\)

Vậy số tiền cần trả để xây bể bơi là \(5 \cdot \frac{{512}}{{27}} \approx 95\) triệu đồng.

Đáp án: 2496.

Gọi \(x\) là số nhân viên cần huy động làm ca I và \(y\) là số nhân viên cần huy động làm ca II (\(x,\,y \in {\mathbb{N}^*}).\)

Theo giả thiết ta có hệ bất phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 < x \le 9\\y \ge 2\\x + y \ge 10\\x \ge 1,5y\end{array} \right.\]

Biểu diễn miện nghiệm của hệ bất phương trình ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) trong đó \(A\left( {6;4} \right),\,\,B\left( {8;2} \right),\,\,C\left( {9;2} \right),\,\,D\left( {9;6} \right).\)

Ta có chi phí tiền lương mỗi ngày \(T\left( {x;y} \right) = 256x + 240y\)(nghìn đồng).

Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(T\left( {x;y} \right)\) sẽ đạt tại một trong các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).

Ta có: \(T\left( {9;2} \right) = 2784,\,\,T\left( {6;4} \right) = 2496,\,\,T\left( {8;2} \right) = 2528,\,\,T\left( {9;6} \right) = 3744.\)

Do đó chi phí tiền lương mỗi ngày ít nhất khi huy động 6 nhân viên ca I và 4 nhân viên ca II là: 2496 (nghìn đồng).