Một sân vận động với sân bóng phẳng hình chữ nhật có chấm trắng trung tâm là nơi giao bóng, một đường kẻ vạch chia đôi sân và các khán đài. Khán đài A gồm những dãy ghế nằm vuông góc với vạch chia đôi sân có độ cao tăng dần (các ghế cùng hàng thì cùng độ cao so với mặt sân). Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] sao cho \[O\] trùng với điểm giao bóng, mặt phẳng \[Oxy\] trùng với mặt sân, trục \[Ox\] trùng với vạch chia đôi sân, tia \[Oz\] vuông góc với mặt sân (đơn vị đo lấy theo mét).

Một khán giả ngồi tại vị trí \(M\) của khán đài A, có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng chứa sân là một điểm thuộc \[Ox.\] Góc hợp bởi \[OM\] và mặt sân là \[\alpha \] với \[\sin \alpha  = \frac{1}{3},\] nếu người này di chuyển 10 (m) trên hàng ngang đó đến ngồi tại một vị trí \(N\) thì góc hợp bởi \[ON\] và mặt sân là \[\beta \] với \[\sin \beta  = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\] Gọi \(h\;\left( m \right)\) là độ cao tại \[M\] so với mặt sân.

Đáp án: 2496.

Gọi \(x\) là số nhân viên cần huy động làm ca I và \(y\) là số nhân viên cần huy động làm ca II (\(x,\,y \in {\mathbb{N}^*}).\)

Theo giả thiết ta có hệ bất phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 < x \le 9\\y \ge 2\\x + y \ge 10\\x \ge 1,5y\end{array} \right.\]

Biểu diễn miện nghiệm của hệ bất phương trình ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) trong đó \(A\left( {6;4} \right),\,\,B\left( {8;2} \right),\,\,C\left( {9;2} \right),\,\,D\left( {9;6} \right).\)

Ta có chi phí tiền lương mỗi ngày \(T\left( {x;y} \right) = 256x + 240y\)(nghìn đồng).

Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(T\left( {x;y} \right)\) sẽ đạt tại một trong các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).

Ta có: \(T\left( {9;2} \right) = 2784,\,\,T\left( {6;4} \right) = 2496,\,\,T\left( {8;2} \right) = 2528,\,\,T\left( {9;6} \right) = 3744.\)

Do đó chi phí tiền lương mỗi ngày ít nhất khi huy động 6 nhân viên ca I và 4 nhân viên ca II là: 2496 (nghìn đồng).

Đáp án: 95.

Gắn trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol đi qua 3 điểm \(C,M,N\) là \(y = a{x^2} + bx + c,\quad (a \ne 0)\)

Trục đối xứng của parabol là \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow b =  - 4a\).

Ta có parabol đi qua các điểm \(M(2;8),C(8;0)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{{.2}^2} + 2b + c = 8}\\{a{{.8}^2} + 8b + c = 0}\\{b =  - 4a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b + c = 8}\\{64a + 8b + c = 0}\\{4a + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{2}{9}}\\{b = \frac{8}{9}}\\{c = \frac{{64}}{9}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình của parabol là \(y =  - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9}\).

Ta có \(y(0) =  - \frac{2}{9}{.0^2} + \frac{8}{9}.0 + \frac{{64}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {0;\frac{{64}}{9}} \right),C(8;0)\) là \(\frac{x}{8} + \frac{y}{{64/9}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{y}{{64/9}} = 1 - \frac{x}{8} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{x}{8} \cdot \frac{{64}}{9} \Rightarrow y = \frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x.\)

Suy ra diện tích bể bơi bằng \(\int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{9}x + \frac{{64}}{9} - \left( {\frac{{64}}{9} - \frac{8}{9}x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^8 {\left( { - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{{16}}{9}x} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{512}}{{27}}.\)

Vậy số tiền cần trả để xây bể bơi là \(5 \cdot \frac{{512}}{{27}} \approx 95\) triệu đồng.