PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông và \(AB = BC = a\), \(AA' = a\sqrt 2 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C\) được viết dưới dạng \[d = \frac{{a\sqrt m }}{n}\], \(m;\,n \in \mathbb{Z}\). Khi đó tổng \(m + n\) bằng bao nhiêu?

Phòng chăm sóc khách hàng của công ty A làm việc từ 8h00 sáng đến 20h00 mỗi ngày. Nhân viên trực tổng đài làm việc theo 2 ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 8h00 đến 16h00 và ca II từ 12h00 đến 20h00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng dưới đây):

Để chăm sóc khách hàng tốt nhất thì cần tối thiểu 2 nhân viên trong khoảng từ 12h00 – 20h00, tối thiểu 10 nhân viên trong giờ cao điểm từ 12h00 – 16h00 và không quá 9 nhân viên trong khoảng từ 8h00 – 16h00. Do lượng khách hàng trong khoảng 8h00 – 16h00 thường đông hơn nên phòng chăm sóc khách hàng cần số nhân viên ca I ít nhất phải gấp 1,5 lần số nhân viên của ca II. Em hãy giúp công ty A chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất. Khi đó chi phí tiền lương ít nhất mà công ty A phải trả cho nhân viên mỗi ngày là \[a\] (nghìn đồng). Giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu?

Một sân vận động với sân bóng phẳng hình chữ nhật có chấm trắng trung tâm là nơi giao bóng, một đường kẻ vạch chia đôi sân và các khán đài. Khán đài A gồm những dãy ghế nằm vuông góc với vạch chia đôi sân có độ cao tăng dần (các ghế cùng hàng thì cùng độ cao so với mặt sân). Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] sao cho \[O\] trùng với điểm giao bóng, mặt phẳng \[Oxy\] trùng với mặt sân, trục \[Ox\] trùng với vạch chia đôi sân, tia \[Oz\] vuông góc với mặt sân (đơn vị đo lấy theo mét).

Cần trục chân đế là kiểu cột quay được sử dụng để phục vụ công việc xếp đỡ hàng hóa chủ yếu ngoài các cảng bến, bãi (hình ảnh minh họa).

Ta chọn hệ trục \(Oxyz\) thỏa mãn \((Oxy)\) song song với mặt đất, trục \(Ox\) trùng với trục chân đế, trục \(Oz\) trùng với trục cần cẩu và trục \(Oy\) như hình vẽ. Gọi \(M\) là vị trí tại đỉnh cần cẩu, \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \((Oxy)\). Biết tay cần \(KM\) của cần trục dài 50 m, trục cần \(OK\) dài 50 m, \(\left( {\vec k;\overrightarrow {KM} } \right) = 60^\circ ,\left( {\vec i;\overrightarrow {OH} } \right) = 45^\circ \). Biết điểm \(M\) có tọa độ \(M(a;b;c)\) trong hệ toạ độ \(Oxyz\) trên, giá trị của \(a + b + c\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một hồ nước ở Bắc Ontario đã phục hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cả cá hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả 800 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng được ước tính là 6000 con. Sức chứa của hồ được cho là 8000 con. Để đánh giá khả năng tăng trưởng, người ta mô phỏng số lượng cá trong hồ qua từng năm thông qua hàm số \(P(t) = \frac{c}{{1 + a \cdot {b^{ - t}}}}(a,b,c \in \mathbb{R})\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (trong đó \(t\) tính theo năm kể từ lúc bắt đầu thả cá vào hồ).

Sử dụng mô hình trên, hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị con/năm) của đàn cá (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).