Trong một buổi chạy thử nghiệm, một mẫu xe điện bắt đầu khởi hành từ vạch xuất phát trong đường hầm. Ngay phía trước mũi xe là một cảm biến đo vận tốc đầu vào. Xe bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ với gia tốc biến đổi theo thời gian \(a = 0,004t\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Biết rằng thân xe chạy ngang qua cảm biến đó mất đúng 60 giây. Sau 90 giây kể từ lúc khời hành, xe đạt đến tốc độ mục tiêu và chuyển sang chế độ chạy đều. Sau khi duy trì vận tốc đều một thời gian, xe đi vào một đoạn đường có vòm che bảo vệ dài 486 m. Hỏi xe điện đó mất bao nhiêu giây để chạy xuyên quan hoàn toàn đoạn đường có vòm che này? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: _____

\({\log _2}\frac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x - 2y}} = {4^{x - 2y}} - 2 \cdot {2^{{x^2} + {y^2}}} + 1\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) + {2^{{x^2} + {y^2} + 1}} = {\log _2}\left( {2x - 4y} \right) + {2^{2x - 4y}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {2^t}\) với \(t > 0\).

Có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + {2^t}\ln 2 > 0,\forall t > 0\). Suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến.

Khi đó \(f\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) = f\left( {2x - 4y} \right) \Leftrightarrow 1 + {x^2} + {y^2} = 2x - 4y\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) (*).

1. Sai. Vì \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên để \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) thì ta có:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 4\\{\left( {y + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\\y =  - 2\end{array} \right.\).

Suy ra có hai cặp số nguyên thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {y + 2} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Suy ra có hai cặp số nguyên thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

2. Đúng. Theo (*), ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1; - 2} \right),R = 2\).

3. Đúng. Xét đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - P = 0\).

Để tồn tại điểm \(\left( {x;y} \right)\) thì đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - P = 0\) phải giao với đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).

Tức là \(d\left( {I,\Delta } \right) \le R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 1 - 4 \cdot \left( { - 2} \right) - P} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} \le 2\)\( \Leftrightarrow \left| {11 - P} \right| \le 10\)\( \Leftrightarrow 1 \le P \le 21\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\)là 21.

4. Đúng. Theo câu 3) ta có \(M = 21;m = 1\). Suy ra \(M \cdot m = 21\). Chọn 2, 3, 4.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó Parabol (P) có đỉnh \(S\left( {0;4} \right)\) và cắt trục hoành tại các điểm \(A\left( { - 2;0} \right),B\left( {2;0} \right)\) nên \(\left( P \right):y =  - {x^2} + 4\).

Vậy tổng diện tích bề mặt bức tường là \({S_0} = 2\int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx}  = \frac{{32}}{3}\) (m2). Chọn C.