Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\)là trọng tâm tam giác \(BCD\). Đường thẳng qua \(M\)song song với \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) tại \(N\). Tính \(\frac{{MN}}{{AB}}\).   

\({\log _2}\frac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x - 2y}} = {4^{x - 2y}} - 2 \cdot {2^{{x^2} + {y^2}}} + 1\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) + {2^{{x^2} + {y^2} + 1}} = {\log _2}\left( {2x - 4y} \right) + {2^{2x - 4y}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {2^t}\) với \(t > 0\).

Có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + {2^t}\ln 2 > 0,\forall t > 0\). Suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến.

Khi đó \(f\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) = f\left( {2x - 4y} \right) \Leftrightarrow 1 + {x^2} + {y^2} = 2x - 4y\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) (*).

1. Sai. Vì \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên để \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) thì ta có:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 4\\{\left( {y + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\\y =  - 2\end{array} \right.\).

Suy ra có hai cặp số nguyên thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {y + 2} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Suy ra có hai cặp số nguyên thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

2. Đúng. Theo (*), ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1; - 2} \right),R = 2\).

3. Đúng. Xét đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - P = 0\).

Để tồn tại điểm \(\left( {x;y} \right)\) thì đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - P = 0\) phải giao với đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).

Tức là \(d\left( {I,\Delta } \right) \le R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 1 - 4 \cdot \left( { - 2} \right) - P} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} \le 2\)\( \Leftrightarrow \left| {11 - P} \right| \le 10\)\( \Leftrightarrow 1 \le P \le 21\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\)là 21.

4. Đúng. Theo câu 3) ta có \(M = 21;m = 1\). Suy ra \(M \cdot m = 21\). Chọn 2, 3, 4.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó Parabol (P) có đỉnh \(S\left( {0;4} \right)\) và cắt trục hoành tại các điểm \(A\left( { - 2;0} \right),B\left( {2;0} \right)\) nên \(\left( P \right):y =  - {x^2} + 4\).

Vậy tổng diện tích bề mặt bức tường là \({S_0} = 2\int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx}  = \frac{{32}}{3}\) (m2). Chọn C.