Trong một giải cầu lông đồng đội, mỗi đội phải tham gia tổng cộng 10 trận đấu. Quy tắc tính điểm là: Mỗi trận thắng, đội được cộng 10 điểm, mỗi trận thua, đội bị trừ 3 điểm. Ban đầu mỗi đội có sẵn 15 điểm. Để giành quyền vào vòng chung kết, đội cần đạt tổng điểm tối thiểu là 72 điểm. Hỏi đội cầu lông cần phải thắng ít nhất bao nhiêu trận đấu để được vào vòng chung kết?

a) Gọi kết quả của phép thử là cặp có thứ tự \(\left. xy \right.\), trong đó:

\(x\): số tiền bốc lần 1, \(y\): số tiền bốc lần 2 \(\left. xy \right.\), (đơn vị: nghìn đồng)

Số phần tử của không gian mẫu: \(n(Ω)=8×7=56\)

Bảng không gian mẫu

b) Biến cố A: “Có ít nhất một phiếu có mệnh giá lớn hơn 50”

Các giá trị > 50 là: \(\left\{ 6080100 \right\}\) Ta chia thành 2 trường hợp không trùng nhau:

TH1: Lần 1 lấy được số > 50. Có 3 cách chọn: \(60,80,100\)

Lần 2: chọn bất kỳ số nào khác (còn 7 cách) \({n}_{1}=3×7=21\)TH2: Lần 1 không > 50, nhưng lần 2 > 50

Lần 1: chọn trong \(\left\{ 1020304050 \right\}\)→ 5 cách

Lần 2: chọn trong \(\left\{ 6080100 \right\}\)→ 3 cách \({n}_{2}=5×3=15\)

Tổng số các kết quả thuận lợi cho biến cố B: \(n(B)={n}_{1}+{n}_{2}=21+15=36\)

Xác suất \(P(B)=\frac{36}{56}=\frac{9}{14}\)

a) Hình vẽ

Xét ∆ABH và ∆ADC, ta có:

\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (Góc nội tiếp cùng chắn ).

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0}\) (\(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\[ \Rightarrow \Delta ABH{\rm{ }} \sim {\rm{ }}\Delta ADC\;(g - g)\]\[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Leftrightarrow AB.AC = AH.AD\]

b) Chứng minh: \[HE \bot AC\]

Xét tứ giác ABHE, ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AEB} = {90^0}\) (gt). Suy ra tứ gaics \[ABHE\] nội tiếp (4 điểm cách đều trung điểm của AB) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EHC} = \widehat {BAE}\) (Cùng bù với \[\widehat {BHE}\])

Mà: \(\widehat {B{\bf{CD}}} = \widehat {BAE\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn ) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EH{\bf{C}}} = \widehat {BCD}\)

Ta có: \(\widehat {EH{\bf{C}}},\;\widehat {BCD}\) ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow \]\[HE//CD\]

Lại có: \[CD \bot AC\]\((\;\widehat {{\bf{ACD}}}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\[ \Rightarrow \]\[HE \bot AC\]

c) Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\].

M là trung điểm của BC \[ \Rightarrow \] OM vuông góc với BC (Liên hệ đường kính dây cung)

Xét tứ giác OMFC, ta có: \(\widehat {OM{\bf{C}}} = \widehat {OFC\;}\)

Tứ giác \[OMFC\] nội tiếp (các đỉnh cùng cách đều trung điểm OC)

\[ \Rightarrow \] \(\widehat {CMF} = \widehat {COF\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn )

Mà: \(\widehat {CMF} = \widehat {HFM} + \widehat {FHM}\) (Tính chất góc ngoài)

\(\widehat {COF} = \widehat {OAC} + \widehat {OCA}\) (Tính chất góc ngoài) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (∆OAC cân tại O)

\[ \Rightarrow \]\(\widehat {OAC} = \widehat {FHM}\) (cmt). \[ \Rightarrow \] \(\widehat {HFM} = \widehat {FHM}\) \[ \Rightarrow \] ∆HFM cân tại M.

\[ \Rightarrow \]\[MF = MH\](1)

Chứng minh tương tự

\[ \Rightarrow \] ∆HEM cân tại M \[ \Rightarrow \]\[ME = MH\](2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]\[ME = MH = MF\] \[ \Rightarrow \] M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\]