Cho tam giác ABC nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] .Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của\[\left( O \right)\].
(a) Chứng minh hệ thức \(AB.AC = AH.AD\).
(b) Vẽ \(BE\) vuông góc với \[AD\](E thuộc\[AD\] ) . Chứng minh: \(HE \bot AC\).
(c) Vẽ \(CF\) vuông góc với \[AD\]( F thuộc\[AD\] ). Gọi \(M\) là trung điểm BC. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Hình vẽ
Xét ∆ABH và ∆ADC, ta có:
\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (Góc nội tiếp cùng chắn ).
\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0}\) (\(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\[ \Rightarrow \Delta ABH{\rm{ }} \sim {\rm{ }}\Delta ADC\;(g - g)\]\[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Leftrightarrow AB.AC = AH.AD\]
b) Chứng minh: \[HE \bot AC\]
Xét tứ giác ABHE, ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AEB} = {90^0}\) (gt). Suy ra tứ gaics \[ABHE\] nội tiếp (4 điểm cách đều trung điểm của AB) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EHC} = \widehat {BAE}\) (Cùng bù với \[\widehat {BHE}\])
Mà: \(\widehat {B{\bf{CD}}} = \widehat {BAE\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn ) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EH{\bf{C}}} = \widehat {BCD}\)
Ta có: \(\widehat {EH{\bf{C}}},\;\widehat {BCD}\) ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow \]\[HE//CD\]
Lại có: \[CD \bot AC\]\((\;\widehat {{\bf{ACD}}}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\[ \Rightarrow \]\[HE \bot AC\]
c) Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\].
M là trung điểm của BC \[ \Rightarrow \] OM vuông góc với BC (Liên hệ đường kính dây cung)
Xét tứ giác OMFC, ta có: \(\widehat {OM{\bf{C}}} = \widehat {OFC\;}\)
Tứ giác \[OMFC\] nội tiếp (các đỉnh cùng cách đều trung điểm OC)
\[ \Rightarrow \] \(\widehat {CMF} = \widehat {COF\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn )
Mà: \(\widehat {CMF} = \widehat {HFM} + \widehat {FHM}\) (Tính chất góc ngoài)
\(\widehat {COF} = \widehat {OAC} + \widehat {OCA}\) (Tính chất góc ngoài) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (∆OAC cân tại O)
\[ \Rightarrow \]\(\widehat {OAC} = \widehat {FHM}\) (cmt). \[ \Rightarrow \] \(\widehat {HFM} = \widehat {FHM}\) \[ \Rightarrow \] ∆HFM cân tại M.
\[ \Rightarrow \]\[MF = MH\](1)
Chứng minh tương tự
\[ \Rightarrow \] ∆HEM cân tại M \[ \Rightarrow \]\[ME = MH\](2)
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]\[ME = MH = MF\] \[ \Rightarrow \] M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Gọi kết quả của phép thử là cặp có thứ tự \(\left. xy \right.\), trong đó:
\(x\): số tiền bốc lần 1, \(y\): số tiền bốc lần 2 \(\left. xy \right.\), (đơn vị: nghìn đồng)
Số phần tử của không gian mẫu: \(n(Ω)=8×7=56\)
Bảng không gian mẫu
b) Biến cố A: “Có ít nhất một phiếu có mệnh giá lớn hơn 50”
Các giá trị > 50 là: \(\left\{ 6080100 \right\}\) Ta chia thành 2 trường hợp không trùng nhau:
TH1: Lần 1 lấy được số > 50. Có 3 cách chọn: \(60,80,100\)
Lần 2: chọn bất kỳ số nào khác (còn 7 cách) \({n}_{1}=3×7=21\)TH2: Lần 1 không > 50, nhưng lần 2 > 50
Lần 1: chọn trong \(\left\{ 1020304050 \right\}\)→ 5 cách
Lần 2: chọn trong \(\left\{ 6080100 \right\}\)→ 3 cách \({n}_{2}=5×3=15\)
Tổng số các kết quả thuận lợi cho biến cố B: \(n(B)={n}_{1}+{n}_{2}=21+15=36\)
Xác suất \(P(B)=\frac{36}{56}=\frac{9}{14}\)
Lời giải
Diện tích hình quạt OAB là
\[{S_1} = \frac{{\pi {R_1}^2n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.30}^2}.120}}{{360}} = 300\pi \] (cm2)
Diện tích hình quạt OCD là
\[{S_2} = \frac{{\pi {R_2}^2n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.10}^2}.120}}{{360}} = \frac{{100}}{3}\pi \] (cm2)
Diện tích phần giấy thủ công dán lên một mặt quạt là
\[S = {S_1} - {S_2} = 300\pi - \frac{{100}}{3}\pi \approx 837,76\](cm2)
Vậy diện tích giấy dán cả 2 mặt quạt là 837,76.2 = 1675,52 cm2
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập