Cho tam giác ABC nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] .Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của\[\left( O \right)\].
(a) Chứng minh hệ thức \(AB.AC = AH.AD\).
(b) Vẽ \(BE\) vuông góc với \[AD\](E thuộc\[AD\] ) . Chứng minh: \(HE \bot AC\).
(c) Vẽ \(CF\) vuông góc với \[AD\]( F thuộc\[AD\] ). Gọi \(M\) là trung điểm BC. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Hình vẽ
Xét ∆ABH và ∆ADC, ta có:
\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (Góc nội tiếp cùng chắn ).
\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0}\) (\(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\[ \Rightarrow \Delta ABH{\rm{ }} \sim {\rm{ }}\Delta ADC\;(g - g)\]\[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Leftrightarrow AB.AC = AH.AD\]
b) Chứng minh: \[HE \bot AC\]
Xét tứ giác ABHE, ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AEB} = {90^0}\) (gt). Suy ra tứ gaics \[ABHE\] nội tiếp (4 điểm cách đều trung điểm của AB) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EHC} = \widehat {BAE}\) (Cùng bù với \[\widehat {BHE}\])
Mà: \(\widehat {B{\bf{CD}}} = \widehat {BAE\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn ) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EH{\bf{C}}} = \widehat {BCD}\)
Ta có: \(\widehat {EH{\bf{C}}},\;\widehat {BCD}\) ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow \]\[HE//CD\]
Lại có: \[CD \bot AC\]\((\;\widehat {{\bf{ACD}}}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\[ \Rightarrow \]\[HE \bot AC\]
c) Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\].
M là trung điểm của BC \[ \Rightarrow \] OM vuông góc với BC (Liên hệ đường kính dây cung)
Xét tứ giác OMFC, ta có: \(\widehat {OM{\bf{C}}} = \widehat {OFC\;}\)
Tứ giác \[OMFC\] nội tiếp (các đỉnh cùng cách đều trung điểm OC)
\[ \Rightarrow \] \(\widehat {CMF} = \widehat {COF\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn )
Mà: \(\widehat {CMF} = \widehat {HFM} + \widehat {FHM}\) (Tính chất góc ngoài)
\(\widehat {COF} = \widehat {OAC} + \widehat {OCA}\) (Tính chất góc ngoài) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (∆OAC cân tại O)
\[ \Rightarrow \]\(\widehat {OAC} = \widehat {FHM}\) (cmt). \[ \Rightarrow \] \(\widehat {HFM} = \widehat {FHM}\) \[ \Rightarrow \] ∆HFM cân tại M.
\[ \Rightarrow \]\[MF = MH\](1)
Chứng minh tương tự
\[ \Rightarrow \] ∆HEM cân tại M \[ \Rightarrow \]\[ME = MH\](2)
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]\[ME = MH = MF\] \[ \Rightarrow \] M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
\(\begin{array}{l}{x^2} - 8x + 12 = 0\\\Delta = 16 - 12 = 4 > 0\end{array}\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 8\\{x_1}{x_2} = 12\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}A = 7{x_1} + {x_2}^2 + 27 + \sqrt {10{x_1} - 11} \\A = 7{x_1} + 8{x_2} - 12 + 27 + \sqrt {{x_1}^2 + 2{x_1} + 1} \\A = 7({x_1} + {x_2}) + 15 + {x_2} + \left| {{x_1} + 1} \right|\\A = 7.8 + 15 + 8 + 1 = 80\end{array}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Diện tích hình quạt OAB là
\[{S_1} = \frac{{\pi {R_1}^2n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.30}^2}.120}}{{360}} = 300\pi \] (cm2)
Diện tích hình quạt OCD là
\[{S_2} = \frac{{\pi {R_2}^2n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.10}^2}.120}}{{360}} = \frac{{100}}{3}\pi \] (cm2)
Diện tích phần giấy thủ công dán lên một mặt quạt là
\[S = {S_1} - {S_2} = 300\pi - \frac{{100}}{3}\pi \approx 837,76\](cm2)
Vậy diện tích giấy dán cả 2 mặt quạt là 837,76.2 = 1675,52 cm2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập