Bạn Lan bốc thăm trúng thưởng 2 lần liên tiếp tại một cửa hàng. Mỗi lần bốc lấy ra 1 phiếu và không hoàn lại. Trong hộp có 8 phiếu, mỗi phiếu có mệnh giá khác nhau: 10 000 đồng, 20 000 đồng, 30 000 đồng, 40 000 đồng, 50 000 đồng, 60 000 đồng, 80 000 đồng, 100 000 đồng.

(a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

(b) Tính xác suất của biến cố A: “Có ít nhất một phiếu có mệnh giá lớn hơn 50 000 đồng”.

a) Hình vẽ

Xét ∆ABH và ∆ADC, ta có:

\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (Góc nội tiếp cùng chắn ).

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0}\) (\(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\[ \Rightarrow \Delta ABH{\rm{ }} \sim {\rm{ }}\Delta ADC\;(g - g)\]\[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Leftrightarrow AB.AC = AH.AD\]

b) Chứng minh: \[HE \bot AC\]

Xét tứ giác ABHE, ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AEB} = {90^0}\) (gt). Suy ra tứ gaics \[ABHE\] nội tiếp (4 điểm cách đều trung điểm của AB) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EHC} = \widehat {BAE}\) (Cùng bù với \[\widehat {BHE}\])

Mà: \(\widehat {B{\bf{CD}}} = \widehat {BAE\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn ) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EH{\bf{C}}} = \widehat {BCD}\)

Ta có: \(\widehat {EH{\bf{C}}},\;\widehat {BCD}\) ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow \]\[HE//CD\]

Lại có: \[CD \bot AC\]\((\;\widehat {{\bf{ACD}}}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\[ \Rightarrow \]\[HE \bot AC\]

c) Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\].

M là trung điểm của BC \[ \Rightarrow \] OM vuông góc với BC (Liên hệ đường kính dây cung)

Xét tứ giác OMFC, ta có: \(\widehat {OM{\bf{C}}} = \widehat {OFC\;}\)

Tứ giác \[OMFC\] nội tiếp (các đỉnh cùng cách đều trung điểm OC)

\[ \Rightarrow \] \(\widehat {CMF} = \widehat {COF\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn )

Mà: \(\widehat {CMF} = \widehat {HFM} + \widehat {FHM}\) (Tính chất góc ngoài)

\(\widehat {COF} = \widehat {OAC} + \widehat {OCA}\) (Tính chất góc ngoài) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (∆OAC cân tại O)

\[ \Rightarrow \]\(\widehat {OAC} = \widehat {FHM}\) (cmt). \[ \Rightarrow \] \(\widehat {HFM} = \widehat {FHM}\) \[ \Rightarrow \] ∆HFM cân tại M.

\[ \Rightarrow \]\[MF = MH\](1)

Chứng minh tương tự

\[ \Rightarrow \] ∆HEM cân tại M \[ \Rightarrow \]\[ME = MH\](2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]\[ME = MH = MF\] \[ \Rightarrow \] M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\]

Diện tích hình quạt OAB là

\[{S_1} = \frac{{\pi {R_1}^2n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.30}^2}.120}}{{360}} = 300\pi \] (cm²)

Diện tích hình quạt OCD là

\[{S_2} = \frac{{\pi {R_2}^2n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.10}^2}.120}}{{360}} = \frac{{100}}{3}\pi \] (cm²)

Diện tích phần giấy thủ công dán lên một mặt quạt là

\[S = {S_1} - {S_2} = 300\pi - \frac{{100}}{3}\pi \approx 837,76\](cm²)

Vậy diện tích giấy dán cả 2 mặt quạt là 837,76.2 = 1675,52 cm²