Cho đường tròn \(\left( {{\rm{O}};{\rm{R}}} \right)\). Từ \({\rm{A\;}}\)trên \(\left( {\rm{O}} \right)\), kẻ tiếp tuyến \({\rm{d}}\) với \(\left( {\rm{O}} \right)\). Trên đường thẳng \({\rm{d}}\) lấy điểm \({\rm{M\;}}\)bất kỳ \(\left( {{\rm{M}};{\rm{A}}} \right)\), qua M kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) theo thứ tự lần lượt tại hai điểm N và P. Gọi \({\rm{K\;}}\)là trung điểm của \({\rm{NP}}\), kẻ tiếp tuyến \({\rm{MB}}\). Kẻ \({\rm{AC}} \bot {\rm{MB}}\), \({\rm{BD}} \bot {\rm{AM}}\left( {{\rm{C}} \in {\rm{MB}};\,\,{\rm{D}} \in {\rm{AM}}} \right)\). Gọi \({\rm{H\;}}\)là giao điểm của \({\rm{AC\;}}\)và \({\rm{BD}}\), \({\rm{I\;}}\)là giao điểm của \({\rm{OM\;}}\)và \({\rm{AB}}\).

(a) Chứng minh tứ giác \({\rm{AMBO\;}}\)nội tiếp.

(b) Chứngminh: \({\rm{OI}} \cdot {\rm{OM}} = {{\rm{R}}^2}\) và \({\rm{OI}} \cdot {\rm{IM}} = {\rm{I}}{{\rm{A}}^2}.\)

(c) Chứng minh ba điểm \({\rm{O}},{\rm{H}},{\rm{M\;}}\) thẳng hàng.

Phòng họp của trường THCS A có 50 ghế ngồi được xếp thành từng dãy, số ghế trong mỗi dãy bằng nhau. Để chuẩn bị cho buổi hội thảo nâng cao chất lượng thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT của ngành, nhà trường đã bố trí thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm 2 ghế thì vừa đủ chỗ ngồi cho 72 người tham dự.

Một người quan sát ở đài hải đăng cao 150 m so với mực nước biển thì nhìn thấy một chiếc thuyền ở xa với một góc nghiêng xuống là 25°. Hỏi chiếc thuyền đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Một nhà hảo tâm dùng xe tải để chở gạo cứu trợ cho bà con miền Bắc sau cơn bão. Mỗi bao gạo nặng 20 kg. Theo khuyến nghị an toàn, tổng khối lượng hàng hóa và người trên xe không được vượt quá 3,5 tấn. Biết bác lái xe nặng 62 kg. Hỏi xe có thể chở tối đa bao nhiêu bao gạo?

Một hồ bơi dành cho trẻ em mầm non có mặt cắt ngang là một Parabol (P) có phương trình\(y = \frac{1}{4}{x^2}\)trong đó đỉnh O của Parabol là đáy hồ. Biết mặt nước của hồ là một đường thẳng ngang cắt Parabol tại hai điểm A, B và độ rộng của mặt hồ tại vị trí đó là 2,4m. Hãy vẽ đồ thị (P) và tính độ sâu lớn nhất của hồ.

Cho phương trình \(\;{x^2} + 4x + 3 = 0\). Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) và không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

\(M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| - {x_1}.\left( {3{x_1} + 12} \right)\)

Hai bạn nam Hùng, Dũng và hai bạn nữ Minh, Nguyệt tham gia đội văn nghệ của lớp 9A. Cô giáo phụ trách đội chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca.

(a) Liệt kê các cách chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca.

(b) Tính xác suất của biến cố A: “Trong hai bạn chọn ra, có một bạn nam và một bạn nữ”

Một hộp phô mai hình trụ có đường kính đáy 12,2 cm, chiều cao 2,4 cm. Trong hộp có 8 miếng phô mai bằng nhau, được xếp khít nhau tạo thành hình trụ ban đầu.

(a) Hãy tính thể tích hộp phô mai.

(b) Mỗi miếng phô mai có dạng một phần của hình trụ và được gói kín bằng giấy. Giả sử giấy gói vừa khít toàn bộ bề mặt của miếng phô mai. Hãy tính diện tích giấy cần dùng để gói một miếng.(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).