Cho đường tròn \(\left( {{\rm{O}};{\rm{R}}} \right)\). Từ \({\rm{A\;}}\)trên \(\left( {\rm{O}} \right)\), kẻ tiếp tuyến \({\rm{d}}\) với \(\left( {\rm{O}} \right)\). Trên đường thẳng \({\rm{d}}\) lấy điểm \({\rm{M\;}}\)bất kỳ \(\left( {{\rm{M}};{\rm{A}}} \right)\), qua M kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) theo thứ tự lần lượt tại hai điểm N và P. Gọi \({\rm{K\;}}\)là trung điểm của \({\rm{NP}}\), kẻ tiếp tuyến \({\rm{MB}}\). Kẻ \({\rm{AC}} \bot {\rm{MB}}\), \({\rm{BD}} \bot {\rm{AM}}\left( {{\rm{C}} \in {\rm{MB}};\,\,{\rm{D}} \in {\rm{AM}}} \right)\). Gọi \({\rm{H\;}}\)là giao điểm của \({\rm{AC\;}}\)và \({\rm{BD}}\), \({\rm{I\;}}\)là giao điểm của \({\rm{OM\;}}\)và \({\rm{AB}}\).
(a) Chứng minh tứ giác \({\rm{AMBO\;}}\)nội tiếp.
(b) Chứngminh: \({\rm{OI}} \cdot {\rm{OM}} = {{\rm{R}}^2}\) và \({\rm{OI}} \cdot {\rm{IM}} = {\rm{I}}{{\rm{A}}^2}.\)
(c) Chứng minh ba điểm \({\rm{O}},{\rm{H}},{\rm{M\;}}\) thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \(\widehat {{\rm{OAM}}} = {90^ \circ }\)(do MA là tiếp tuyến của (O), A là tiếp điểm).
Suy ra ba điểm O, A, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM. (1)
Lại có \(\widehat {{\rm{OBM}}} = {90^ \circ }\)(do MB là tiếp tuyến của (O), B là tiếp điểm).
Suy ra ba điểm O,B,M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM. (2)
Từ (1) và (2) ta được tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.
b)
Ta có tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Suy ra AB là dây cung của đường tròn đường kính OM.
Do đó OM \( \bot \)AB
Xét ∆OAM vuông tại A có AI là đường cao.
Xét ∆OAM và ∆OIA là hai tam giác vuông có góc O chung nên ∆OAM ∆OIA (g.g)
Suy ra \(\frac{{{\rm{OA}}}}{{{\rm{OI}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{OM}}}}{{{\rm{OA}}}}\)hay \({\rm{O}}{{\rm{A}}^{\rm{2}}}{\rm{ = OM}}\,{\rm{.}}\,{\rm{OI}}\)
Mà OA = R nên \({\rm{OI }}{\rm{. OM = }}{{\rm{R}}^{\rm{2}}}\).
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \({\rm{IOA}}\), ta có
\({\rm{I}}{{\rm{A}}^{\rm{2}}}{\rm{ = O}}{{\rm{A}}^{\rm{2}}}{\rm{ }} - {\rm{ O}}{{\rm{I}}^{\rm{2}}}{\rm{ = OI }}{\rm{. OM }} - {\rm{ O}}{{\rm{I}}^{\rm{2}}}{\rm{ = OI }}{\rm{. }}\left( {{\rm{OM }} - {\rm{ OI}}} \right){\rm{ = OI }}{\rm{. IM}}\)
c) Ta có \({\rm{OA}} \bot {\rm{AM}}\)(do AM là tiếp tuyến của (O) ) và BD\( \bot \)MA(gt), suy ra OA // BD
Chứng minh tương tự, ta được OB // AC
Do đó tứ giác OAHB là hình bình hành.
Mà OA = OB = R nên tứ giác OAHB là hình thoi, suy ra OH \( \bot \)AB
Mà OM \( \bot \)AB, do đó \({\rm{OM}} \equiv {\rm{OH}}\).
Vậy ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi số dãy ghế ban đầu của phòng họp trường A là x (dãy, x\(ϵ{N}^{*}\)).
Số ghế trong mỗi dãy ban đầu là:
\(\frac{{50}}{{\rm{x}}}\) (ghế)
Số dãy ghế sau khi nhà trường xếp thêm là:
\({\rm{x + 1\;}}\)(dãy)
Số ghế trong mỗi dãy sau khi nhà trường xếp thêm là:
\(\frac{{72}}{{{\rm{x + 1}}}}{\rm{\;}}\)(ghế)
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\frac{{72}}{{{\rm{x + 1}}}} - \frac{{50}}{{\rm{x}}} = 2\)
Giải phương trình suy ra x = 5
Vậy số dãy ghế ban đầu của phòng họp trường A là 5 dãy.
Lời giải
a) Có 6 cách chọn: (Hùng, Dũng), (Hùng, Minh), (Hùng, Nguyệt), (Dũng, Minh), (Dũng, Nguyệt), (Minh, Nguyệt)
b) Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố B: (Hùng, Nguyệt), (Hùng, Minh), (Dũng, Minh), (Dũng, Nguyệt)
Vậy \({\rm{P}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập