Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có hình dạng của một hình quạt tròn với bán kính 25 cm và khi xòe hết thì góc tạo bởi hai thanh nan ngoài cùng của chiếc quạt là 150⁰. Tính diện tích phần giấy làm quạt, biết rằng phần giấy của quạt là một hình vành khuyên có bán kính đường tròn nhỏ là 10 cm.

Đáp án:

a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn.

Do \(AB \bot MN\) nên \(\Delta MOB\) vuông tại O, cạnh huyền MB

Suy ra M, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính MB

Tương tự \(\Delta MHB\) vuông tại H, cạnh huyền MB nên M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính MB

Vậy O, M, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính MB (đpcm)

b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh \(\widehat {MHO} = \widehat {MNA}\) và \(ME \cdot MH = BE \cdot HC\).

Do O, M, B, H cùng thuộc đường tròn nên MOBH nội tiếp đường tròn

Suy ra \(\widehat {MHO} = \widehat {MBO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MO)

Mà \(\widehat {MNA} = \widehat {MBA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA của (O))

Suy ra \(\widehat {MHO} = \widehat {MNA}\) (đpcm)

Ta có nên \(\widehat {BMC} = 90^\circ \)

Do \(\widehat {CMH} + \widehat {HMB} = \widehat {CMB} = 90^\circ \)

Kết hợp với \(\widehat {HBM} + \widehat {HMB} = 180^\circ - \widehat {MHB} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {CMH} = \widehat {HBM}\)

Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta BHM\) có \(\widehat {CMH} = \widehat {HBM}\)

\(\widehat {CHM} = \widehat {BHM}\,\,( = 90^\circ )\)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\frac{{HC}}{{HM}} = \frac{{MH}}{{HB}}\) (1)

Vì MO = OB nên tam giác MOB cân tại O suy ra \(\widehat {OMB} = \widehat {OBM}\) (tính chất)

Tứ giác MHBO nội tiếp đường tròn đường kính MB nên ta có:

\(\widehat {MHO} = \widehat {MBO}\,;\,\,\widehat {OHB} = \widehat {OMB}\) (các góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Khi đó \(\widehat {MHO} = \widehat {OHB}\)

Suy ra EH là phân giác của góc MHB

Suy ra \(\frac{{ME}}{{EB}} = \frac{{MH}}{{HB}}\) (tính chất đường phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{HC}}{{HM}} = \frac{{ME}}{{EB}}\) hay \(HC \cdot EB = HM \cdot ME\) (đpcm)

c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng.

Ta có \(\Delta CHM\) vuông tại H nên C, H, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM

Mà P thuộc đường tròn đường kính CM nên \(\widehat {MPC} = 90^\circ \) hay \(MP \bot PC\)

Tương tự P thuộc đường tròn (O), đường kính MN nên \(\widehat {MPN} = 90^\circ \) hay \(MP \bot PN\)

Suy ra C, P, N thẳng hàng (*)

Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta BMC\) có \(\widehat {CHM} = \widehat {CMB} = 90^\circ \); \(\widehat {BCM}\) chung

Nên (g.g)

Suy ra \(\frac{{HC}}{{MC}} = \frac{{MH}}{{MB}}\) hay \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{MB}}\)

Mà \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{ME}}{{EB}}\) suy ra \(\frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{ME}}{{EB}}\) (3)

Ta có \[\Delta BMN\] có BO vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên \[\Delta BMN\] cân tại B

Suy ra \(BM = BN\)

Thay vào (3) ta được \(\frac{{MC}}{{BN}} = \frac{{ME}}{{EB}}\)

Xét \(\Delta MEC\) và \(\Delta BEN\) có \(\frac{{MC}}{{BN}} = \frac{{ME}}{{EB}}\) và \(\widehat {EMC} = \widehat {EBN}\,\,( = 90^\circ )\)

Suy ra (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {BEN}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {MEC} + \widehat {CEB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BEN} + \widehat {CEB} = 180^\circ \)

Chứng tỏ C, E, N thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) suy ra C, P, E thẳng hàng (đpcm).

Gọi \(x\) (đồng) là giá niêm yết của 1 chiếc ba lô (\(0 < x < 400.000\)).

Gọi \(y\) (đồng) là giá niêm yết của 1 hộp bút màu (\(0 < y < 400.000\)).

Vì tổng giá niêm yết của 1 chiếc ba lô và 1 hộp bút màu là 400.000 đồng nên ta có phương trình:

\(x + y = 400.000\) (1)

Giá của chiếc ba lô sau khi được giảm \(10\% \) là:

\(x \cdot (100\% - 10\% ) = 0,9x\) (đồng).

Giá của hộp bút màu sau khi được giảm \(20\% \) là:

\(y \cdot (100\% - 20\% ) = 0,8y\) (đồng).

Vì tổng số tiền thực tế bạn học sinh phải trả cho 1 chiếc ba lô và 1 hộp bút màu là 345.000 đồng, nên ta có phương trình:

\(0,9x + 0,8y = 345.000\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 400.000}\\{0,9x + 0,8y = 345.000}\end{array}} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 0,8, ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,8x + 0,8y = 320.000}\\{0,9x + 0,8y = 345.000}\end{array}} \right.\)

Trừ vế theo vế hai phương trình, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,1x = 25.000}\\{x + y = 400.000}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 25.000:0,1}\\{y = 400.000 - x}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 250.000}\\{y = 150.000}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá niêm yết của 1 chiếc ba lô là 250.000 đồng và 1 hộp bút màu là 150.000 đồng.

Giá thực tế của 1 chiếc ba lô sau khi giảm giá là:

\(250.000 \cdot 0,9 = 225.000\) (đồng).

Giá thực tế của 1 hộp bút màu sau khi giảm giá là:

\(150.000 \cdot 0,8 = 120.000\) (đồng).

Số tiền mua 3 chiếc ba lô và 5 hộp bút màu sau khi đã được giảm giá đợt 1 là:

\(3 \cdot 225.000 + 5 \cdot 120.000 = 675.000 + 600.000 = 1.275.000\) (đồng).

Vì tổng hóa đơn là 1.275.000 đồng \( > 1.200.000\) đồng, nên bạn học sinh đủ điều kiện được giảm thêm \(5\% \) trên tổng hóa đơn.

Số tiền thực tế bạn học sinh đó phải thanh toán là:

\(1.275.000 \cdot (100\% - 5\% ) = 1.275.000 \cdot 0,95 = 1.211.250\) (đồng).

Đáp số: 1.211.250 đồng.