Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình: Một người chạy bộ một quãng đường dài 20 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 2 giờ. Lúc đầu người đó chạy với vận tốc 12 km/h, về sau chạy với vận tốc 7,5 km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã chạy với vận tốc 12 km/h.

a) Chứng minh \(E\) thuộc đường tròn đường kính\(BH\)

Chứng minh \(D\) thuộc đường tròn đường kính \(BH\)

\(B,E,H,D\) thuộc đường tròn đường kính \(BH\) nên tứ giác \(BEHD\) nội tiếp

b) Chứng minh được tứ giác \(AEHF\) nội tiếp

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AEHF\) có

\(\widehat {FEH} = \widehat {FAH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) hay \(\widehat {CEN} = \widehat {KAC}\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\left( O \right)\) có\(\widehat {KAC} = \widehat {KIC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn )

hay \(\widehat {KAC} = \widehat {EIC}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {CEN} = \widehat {EIC}\)

Xét \(\Delta CEN\) và \(\Delta CIE\) có: \(\widehat {ECI}\): chung; \(\widehat {CEN} = \widehat {EIC}\) (cmt)

Nên \(\left( {g - g} \right)\)Suy ra \(\frac{{CE}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CE}} \Leftrightarrow C{E^2} = CN.CI\) (đpcm)

c) Xét tam giác OBC cân tại O

Vì \(OM \bot BC\) tại \(M\) nên OM là đường cao của tam giác cân nên OM cũng là đường trung tuyến do đó \(M\) là trung điểm \(BC\).

Xét \(\Delta EBC\) vuông tại \(E\) có \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(ME = \frac{1}{2}BC\).

Tương tự ta có \(MF = \frac{1}{2}BC\). Do đó \(ME = MF\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\) suy ra \(M\) thuộc trung trực của \(EF\)

Vì \(P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\) nên \(PE = PF\)

Suy ra \(P\) thuộc trung trực của \(EF\). Vậy \(PM\) là trung trực của \(EF\)

Gọi x, y( giờ) lần lượt là thời gian An, Bình làm một mình xong công việc

(x; y > 6)

Trong một giờ: An làm được \[\frac{1}{x}\] công việc, Bình làm được \[\frac{1}{y}\] công việc.

Trong một giờ, cả hai bạn làm được \[\frac{1}{6}\] công việc.

Ta có phương trình: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\,\,\left( 1 \right)\]

Do làm một mình xong công việc thì Bình làm lâu hơn An là 9 giờ nên ta có phương trình: \[y - x = 9\,\,\left( 2 \right)\]

Giải hệ hai phương trình (1) và (2) được: \[x = 9;\,y = 18\] (thỏa mãn)

Vậy Bình hoàn thành cả công việc trong 18 giờ. Do đó sau khi An làm một mình xong nửa công việc rồi nghỉ thì Bình hoàn thành công việc còn lại trong 9 giờ.