Hình quạt ở hình vẽ bên có bán kính bằng 2 dm và góc ở tâm bằng 150°. Tính diện tích của hình quạt và chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó.

Một chiếc hộp có chứa 5 tấm thẻ cùng loại, được đánh số lần lượt là 3, 5, 6, 7, 9. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai 2 tấm thẻ từ hộp, tấm thẻ lấy ra lần đầu không trả lại vào hộp. Quan sát số trên hai tấm thẻ được lấy ra.

(a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

(b) Tính xác suất của các biến cố\(A\): "Tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ là số một số nguyên tố".

Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O\,;\,R} \right)\). Các đường cao \(AD,\,\,BF,\,\,CE\)của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(H\).

(a) Chứng minh tứ giác \(BEHD\) nội tiếp một đường tròn.

(b) Kéo dài \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(K\). Kéo dài \(KE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại điểm thứ hai \(I\). Gọi \(N\)là giao điểm của \(CI\) và \(EF\). Chứng minh \(C{E^2} = CN.CI\).

(c) Kẻ \(OM\) vuông góc với \(BC\) tại \(M\). Gọi \(P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\). Chứng minh \(MP\)là đường trung trực của đoạn thẳng \(EF\).

Tính giá trị của các biểu thức sau: \(3\sqrt 5 - \sqrt {{{(1 - \sqrt 5 )}^2}} \)

Biểu đồ đoạn thẳng ở hình bên biểu diễn số lượng gạo xuất khẩu được (đơn vị: tấn) của một doanh nghiệp trong các tháng 9, 10, 11, 12.

Lập bảng tần số và bảng tần số tương đối biểu diễn các số liệu nêu trong biểu đồ.

Rút gọn biểu thức sau: \(A = \left( {\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 5}} - \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 5}}} \right)\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0;x \ne 25.\)

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) trên mặt phẳng tọa độ và tìm tọa độ các điểm M thuộc thuộc đồ thị có tổng hoành độ và tung độ bằng \(\frac{8}{9}\) .

Gọi \(x{}_1;{x_2}\)là hai nghiệm của phương trình \( - 2{x^2} + 7x + 5 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: \(P = {x_1}\left( {x_1^2 - 2026} \right) - {x_2}\left( { - x_2^2 + 2027} \right) + {x_2}\)