Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O\,;\,R} \right)\). Các đường cao \(AD,\,\,BF,\,\,CE\)của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(H\).

(a) Chứng minh tứ giác \(BEHD\) nội tiếp một đường tròn.

(b) Kéo dài \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(K\). Kéo dài \(KE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại điểm thứ hai \(I\). Gọi \(N\)là giao điểm của \(CI\) và \(EF\). Chứng minh \(C{E^2} = CN.CI\).

(c) Kẻ \(OM\) vuông góc với \(BC\) tại \(M\). Gọi \(P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\). Chứng minh \(MP\)là đường trung trực của đoạn thẳng \(EF\).

a) Chứng minh \(E\) thuộc đường tròn đường kính\(BH\)

Chứng minh \(D\) thuộc đường tròn đường kính \(BH\)

\(B,E,H,D\) thuộc đường tròn đường kính \(BH\) nên tứ giác \(BEHD\) nội tiếp

b) Chứng minh được tứ giác \(AEHF\) nội tiếp

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AEHF\) có

\(\widehat {FEH} = \widehat {FAH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) hay \(\widehat {CEN} = \widehat {KAC}\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\left( O \right)\) có\(\widehat {KAC} = \widehat {KIC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn )

hay \(\widehat {KAC} = \widehat {EIC}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {CEN} = \widehat {EIC}\)

Xét \(\Delta CEN\) và \(\Delta CIE\) có: \(\widehat {ECI}\): chung; \(\widehat {CEN} = \widehat {EIC}\) (cmt)

Nên \(\left( {g - g} \right)\)Suy ra \(\frac{{CE}}{{CI}} = \frac{{CN}}{{CE}} \Leftrightarrow C{E^2} = CN.CI\) (đpcm)

c) Xét tam giác OBC cân tại O

Vì \(OM \bot BC\) tại \(M\) nên OM là đường cao của tam giác cân nên OM cũng là đường trung tuyến do đó \(M\) là trung điểm \(BC\).

Xét \(\Delta EBC\) vuông tại \(E\) có \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(ME = \frac{1}{2}BC\).

Tương tự ta có \(MF = \frac{1}{2}BC\). Do đó \(ME = MF\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\) suy ra \(M\) thuộc trung trực của \(EF\)

Vì \(P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\) nên \(PE = PF\)

Suy ra \(P\) thuộc trung trực của \(EF\). Vậy \(PM\) là trung trực của \(EF\)