Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) (A = 2{x^2} + 28x + 101 ) b) ({ rm{B}} = frac{{{{({ rm{x}} + 1)}^2}}}{{ rm{x}}} ) với ({ rm{x}} > 0 ).

a) (A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 ge 3 ). Do đó ( min A = 3 ) khi và chỉ khi ({ rm{x}} = - 7 ). b) (B = frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x} = frac{{{x^2} + 2x + 1}}{x} = x + frac{1}{x} + 2 ). Vì (x > 0 ) nên (x + frac{1}{x} ge 2 ), do đó (B ge 4 ). Vậy ( min B = 4 ) khi và chỉ khi (x = frac{1}{x} Leftrightarrow x = 1 ).

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A = 2x^2 + 28x + 101

Câu 1

Chứng minh các bất đẳng thức:
a) \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}\) b) \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)\).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 4ab \le {a^2} + 2ab + {b^2}\).\( \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0\)

b) Ta có \(\quad {a^2} + 1 \ge 2a;{b^2} + 1 \ge 2b;{c^2} + 1 \ge 2c\). Do đó \(\quad {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1\) ).

Câu 2

Chứng minh rằng nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất của \({\rm{A}} = (1 - {\rm{x}})(2 - {\rm{x}})\) với \(\frac{1}{2} < {\rm{x}} < 1\).

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử \({\rm{x}},{\rm{y}} > 0\) và \({\rm{x}} + {\rm{y}} = {\rm{k}}\) (không đổi).Ta có \(:(x - y) + 4xy = {(x + y)^2} = {k^2} \Rightarrow xy \le \frac{{{k^2}}}{4}\).

\(A = \frac{1}{2}(2 - 2x)(2x - 1):\max A = \frac{1}{8}\)

Câu 3