a) Cho \(a > 0.\) Chứng minh \(a + \frac{1}{a} \ge 2;\)

b) Cho \(a \ge 0,\;b \ge 0.\) Chứng minh \(\sqrt {\frac{{a + b}}{2}}  \ge \frac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{2};\)

c) Cho \(a,b > 0.\) Chứng minh \(\sqrt a  + \sqrt b  \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }};\)

d) Chứng minh \(\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\) với mọi \(x.\)

a) Với \(a > b > 0\), ta có

\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt {a - 2\sqrt {ab}  + b} }}{{\sqrt {\sqrt a  - \sqrt b } }} = \sqrt {\frac{{a - 2ab + b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}}  = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}}  = \sqrt {\sqrt a  - \sqrt b } \,\,\,\,\,(1)\\\end{array}\)

Ta thấy \(a = 36;\,b = 25\) thỏa mãn điều kiện.

Thay \(a = 36;\,b = 25\) vào (1) ta có \(A = \sqrt {\sqrt {36}  - \sqrt {25} }  = \sqrt 1  = 1\).

b) Với \(x > 3\) ta có;

\(B = \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {\sqrt x  + \sqrt 3 } }}:\frac{{\sqrt {\sqrt x  - \sqrt 3 } }}{{\sqrt x }} = \sqrt {\frac{{x - 3}}{{\sqrt x  + \sqrt 3 }}} :\sqrt {\frac{{\sqrt x  - \sqrt 3 }}{{\sqrt x }}} \)

\( = \sqrt {\frac{{(\sqrt x  - \sqrt 3 )(\sqrt x  + \sqrt 3 )}}{{\sqrt x  + \sqrt 3 }}.\frac{x}{{\sqrt x  - \sqrt 3 }}}  = \sqrt x \,\,\,(1)\)

Ta thấy \(x = 81\)thỏa mãn điều kiện.

Thay \(x = 81\) vào \(\left( 1 \right)\)ta có \(B = \sqrt {81}  = 9\).

c) Với \(x < 4\) ta có

\(\begin{array}{l}C = \sqrt {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}}  - \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^4}} }}{{\sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2}} }} - \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 4}} = \frac{{\left| {{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right|}}{{\left| {4 - x} \right|}} - \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 4}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4 - x}} + \frac{{{x^2} - 25}}{{4 - x}} = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {x^2} - 25}}{{4 - x}} = \frac{{2{x^2} - 10x}}{{4 - x}}\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Ta thấy \(x = 3\) thỏa mãn điều kiện.

Thay \(x = 3\) vào (1) ta có \(C = \frac{{{{2.3}^2} - 10.3}}{{4 - 3}} =  - 12\).

d) Với \(x \ge 0\) ta có

\(\begin{array}{l}M = 3x - \sqrt {27}  + \frac{{\sqrt {{x^3} + 3{x^2}} }}{{\sqrt {x + 3} }} = 3x - \sqrt {27}  + \sqrt {\frac{{{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}}  = 3x - \sqrt {27}  + \sqrt {{x^2}} \\\,\,\,\,\,\, = 3x - \sqrt {27}  + \left| x \right| = 3x - \sqrt {27}  + x = 4x - \sqrt {27} \,\,\,(1)\end{array}\)

Ta thấy \(x = \sqrt 3 \) thỏa mãn điều kiện.

Thay \(x = \sqrt 3 \) vào (1) ta có \(M = 4\sqrt 3  - \sqrt {27}  = 4\sqrt 3  - 3\sqrt 3  = \sqrt 3 \).