Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + ax + b\) có nghiệm \(1 + \sqrt 2 \) với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng \(P\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \({x^2} - 2x - 1.\)

Từ 1 đến 100 có tất cả 100 thẻ.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố là: \(9;\,\,18;\,\,27;\,\,36;\,\,45;\,\,54;\,\,63;\,\,72;\,\,81;\,\,90\)

Vậy có 10 kết quả thuận lợi.

Xác suất của biến cố “Số trên thẻ được rút ra là số có tổng các chữ số bằng 9” là: \[\frac{{10}}{{100}} = \frac{1}{{10}}.\]

1) Thay \[x = 5\] vào biểu thức \[A\] ta được:

\(A = \frac{{2.5 + 5}}{{5 - 2}} = \frac{{15}}{3} = 5\).

2) \(B = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}} + \frac{x}{{x - 1}} - \frac{5}{{x + 1}}\) với \(x \ne 1;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne 2.\)

\( = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 3 + {x^2} + x - 5x + 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 2x - x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\).

3) Ta có: \(P = A.B\)

Khi đó: \(P = \frac{{2x + 5}}{{x - 2}}.\frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)\( = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}}\)\( = \frac{{2x + 2 + 3}}{{x + 1}}\)\( = 2 + \frac{3}{{x + 1}}\).

Để \(P\) nguyên thì \(\left( {x + 1} \right) \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 3} \right\}\)

Ta có bảng:

Do \(x\) không âm nên \(x \in \left\{ {0;2} \right\}.\)

Vậy \(x \in \left\{ {0;2} \right\}\) là các giá trị cần tìm.