Một hộp có \[100\] chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1,\,\,2,\,\,3,\,\,...,\,99,\,\,100\) (hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp, hãy tính xác suất của biến cố “Số trên thẻ được rút ra là số có tổng các chữ số bằng \[9\]”

1) Thay \[x = 5\] vào biểu thức \[A\] ta được:

\(A = \frac{{2.5 + 5}}{{5 - 2}} = \frac{{15}}{3} = 5\).

2) \(B = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}} + \frac{x}{{x - 1}} - \frac{5}{{x + 1}}\) với \(x \ne 1;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne 2.\)

\( = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 3 + {x^2} + x - 5x + 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 2x - x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\).

3) Ta có: \(P = A.B\)

Khi đó: \(P = \frac{{2x + 5}}{{x - 2}}.\frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)\( = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}}\)\( = \frac{{2x + 2 + 3}}{{x + 1}}\)\( = 2 + \frac{3}{{x + 1}}\).

Để \(P\) nguyên thì \(\left( {x + 1} \right) \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 3} \right\}\)

Ta có bảng:

Do \(x\) không âm nên \(x \in \left\{ {0;2} \right\}.\)

Vậy \(x \in \left\{ {0;2} \right\}\) là các giá trị cần tìm.

• Vì \[0 < a < b \le \,\,c\,\, \le \,\,1\]nên \[c\, - \,b \ge \,0\] và \[c\,\, - 1\,\, \le \,\,0\], suy ra \[\left( {c\, - \,b} \right)\left( {c\,\, - 1} \right)\,\, \le \,\,0\]

\[{c^2}\,\, - c - bc\,\,\, + b \le \,\,0\]

\[{c^2}\,\, \le \,\,c + bc\,\, - b\]

\[16{c^2}\,\, \le \,16\,\left( {c + bc\,\, - b} \right)\]

\[16{c^2}\,\, \le \,16\,c\,\, + 16bc - 16b\,\] \[(1)\]

• Vì \[0 < a < b \le \,\,c\,\, \le \,\,1\]nên \[b > \,0\] và \[b\,\, - c\,\, \le \,\,0\], suy ra \[b\left( {b\,\, - c} \right)\,\, \le \,\,0\]

\[{b^2}\,\, - bc\,\,\, \le \,\,0\] nên \[{b^2}\,\, \le \,\,bc\] suy ra \[16{b^2}\,\, \le \,16\,bc\] \[(2)\]

• Vì \[0 < a < b \le \,\,c\,\, \le \,\,1\]và \[4a\, + \,\,b + \,\,c\,\, \le \,\,4\] nên \[4 - \,b\, - c > \,0\] và \[4a\, > 0\]

Ta có: \[4a\, + \,\,b + \,\,c\,\, \le \,\,4\]

\[4a\,\,\, \le \,\,4 - \,\,b - \,\,c\]

\[{\left( {4a} \right)^2}\,\,\, \le \,\,{\left( {4 - \,\,b - \,\,c} \right)^2}\]

\[16{a^2}\,\,\, \le \,\,16\, + \,\,{b^2} + {c^2} - 8b - \,8c + \,2bc\] \[(3)\]

Cộng vế với vế của \[(1)\],\[(2)\] và \[(3)\] ta được:

\[16{c^2}\, + 16{b^2}\, + \,\,16\,{a^2} \le \,\,\,\,16\,c\,\, + 16bc - 16b\, + 16bc + \,\,16\, + \,\,{b^2} + {c^2} - 8b - \,8c + \,2bc\]

\[16\left( {{c^2}\, + {b^2}\, + \,{a^2}} \right) \le \,\,\,\,\,\,{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c + \,\,16\,\]

\[{a^2}\, + {b^2}\, + \,{c^2} \le \,\,\,\,\,\frac{1}{{16}}\left( {{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c + \,\,16} \right)\,\,\]\[(4)\]

Để chứng minh \[{a^2}\, + {b^2} + c{\,^2}\, \le \,\,\frac{9}{4}\], Ta cần chứng minh: \[\,\,\,\frac{1}{{16}}\left( {{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c + \,\,16} \right)\, \le \,\,\,\frac{9}{4}\]

Hay \[{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c + \,\,16 \le 36\] (nhân \[2\] vế với \[16\])

\[{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c - 20 \le 0\]

Ta có: \[{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c - 20\] = \[{b^2} + {c^2} + 10bc + \,24bc - 24b + \,8c - 20\]

= \[{b^2} + {c^2} + 10bc + \,24b\left( {c - 1} \right) + \,8c - 20\]

\[ \le {b^2} + {c^2} + 10bc + \,24.0 + \,8c - 20\] (vì \[c\,\, - 1\,\, \le \,\,0\]theo cmt hay \[24\left( {c\,\, - 1} \right)\,\, \le \,\,0\])

= \[{b^2} + {c^2} + 10bc + \,8c - 20\]

\[ \le {c^2} + {c^2} + 10.1.c + \,8c - 20\] (vì \[0 < \,b\,\, \le \,\,c \le 1\])

= \[2{c^2} + 1\,8c - 20\]= \[2\left( {{c^2} + 9c - 10} \right)\]

= \[2\left( {c - 1} \right)\left( {c + 10} \right) \le 0\] (vì \[\left( {c - 1} \right) \le 0\,;\left( {c + 10} \right)\, > \,0\] nên \[\left( {c - 1} \right)\left( {c + 10} \right) \le 0\])

Suy ra \[{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c - 20 \le 0\] hay \[{a^2}\, + {b^2} + c{\,^2}\, \le \,\,\frac{9}{4}\].