Cho hai biểu thức: \[M = \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{9x - 9}}{{{x^2} - 9}},\] \(N = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\) với \(x \ne  - 2;\,\,x \ne  \pm 3.\)

a) Tính giá trị biểu thức \(N\) biết \[x = 1.\]

b) Chứng minh: \[M = \frac{x}{{x - 3}}.\]

c) Tìm \[x\] nguyên để biểu thức \[P = M + N\] đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Thay \[x = 1\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(N\) ta được: \(N = \frac{{1 + 1}}{{1 - 3}} =  - 1.\)

Vậy \[N =  - 1\] khi \[x = 1.\]

b) Với \(x \ne  - 2;\,\,x \ne  \pm 3,\) ta có:

\[M = \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{9x - 9}}{{{x^2} - 9}}\]\[ = \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{9x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{9x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]\[ = \frac{{{x^2} - 6x + 9 + 9x - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 3x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]\[ = \frac{x}{{x - 3}}.\]

Vậy với \(x \ne  - 2;\,\,x \ne  \pm 3\) thì \(M = \frac{x}{{x - 3}}.\)

c) Với \(x \ne  - 2;\,\,x \ne  \pm 3,\) ta có:

\[P = M + N = \frac{x}{{x - 3}} + \frac{{x + 1}}{{x - 3}} = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = 2 + \frac{7}{{x - 3}}.\]

Với \(x\) nguyên, để \(P\) nguyên thì \[7\,\, \vdots \,\,x - 3\] hay \(x - 3 \in \)Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 7} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Các giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy \(x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}.\)