Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB < AC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), kẻ \(MD\) vuông góc với \(AB\) tại \(D,\,\,ME\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\).

a) Chứng minh \(AM = DE\).

b) Chứng minh tứ giác \(DMCE\) là hình bình hành.

c) Tam giác vuông \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(ADME\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \).

Vì \(MD \bot AB\left( {D \in AB} \right)\) nên \(\widehat {MDA} = \widehat {MDB} = 90^\circ \).

Vì \(ME \bot AC\left( {E \in AC} \right)\) nên \(\widehat {MEA} = \widehat {MEC} = 90^\circ \).

Do đó \(\widehat {BAC} = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ \).

Suy ra tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật (dhnb).

Vậy \(AM = DE\) (tính chất).

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(M\)là trung điểm của \(BC\) nên \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) suy ra \(AM = MB = MC = \frac{1}{2}BC\) (Định lí).

Do đó \(\Delta MAC\) cân tại \(M\).

Mà \(ME \bot AC\left( {E \in AC} \right)\) nên \(ME\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta MAC\)

Suy ra \(E\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AE = EC\).

Vì tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật (chứng minh trên) nên \(DM\,{\rm{//}}\,AE,\,\,DM = AE\) (tính chất)

Do đó \(DM\,{\rm{//}}\,EC,DM = EC\) nên tứ giác \(DMCE\) là hình bình hành (dhnb).

c) Để tứ giác \(ADME\) là hình vuông thì đường chéo \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {DAE}\).

Hay \(AM\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\).

Mà \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).

Vậy để tứ giác \(ADME\) là hình vuông thì \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).