1) Để đo khoảng cách giữa hai vị trí \(B\) và \(N\) ở hai bên bờ sông, bạn Minh chọn ba vị trí \(A,\;M,\;C\) cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm \(A,\;M,\;C\) thẳng hàng; ba điểm \(B,\;N,\;A\) thẳng hàng và \(BC\,{\rm{//}}\,MN\) (như hình vẽ). Sau đó bạn Minh đo được \(CM = 60\,{\rm{m}}\), \(AM = 50\,{\rm{m}}\), \(AN = 55\,{\rm{m}}\). Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí \(B\) và \(N\) là bao nhiêu mét?

2) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB < AC\), đường cao \(AH\;\left( {H \in BC} \right).\) \(HM \bot AB\;\left( {M \in AB} \right),\) \(HN \bot AC\;\left( {N \in AC} \right).\)

a) Chứng minh \(AMHN\) là hình chữ nhật.

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HC\), trên tia đối của tia \(IA\) lấy điểm \(K\) sao cho \(I\) là trung điểm của \(AK\). Chứng minh \(KH\,{\rm{//}}\,AC\) và \(MN = CK\).

c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(MN,\) gọi \(D\) là giao điểm của \[CO\] và \(AK\). Chứng minh \(AK = 3AD\).

a) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  suy ra \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MAN} = 90^\circ \)

Và \(HM \bot AB\;\left( {M \in AB} \right)\) (giả thiết) suy ra \(\widehat {HMA} = 90^\circ \)

\(HN \bot AC\;\left( {N \in AC} \right)\) (giả thiết) suy ra \(\widehat {HNA} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(AMHN\) có: \(\widehat {MAN} = \widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \)

Vậy tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.

b) Xét tứ giác \(AHKC\) có hai đường chéo là \(AK\) và \(HC\), có:

\(I\) là trung điểm của \(HC\) (giả thiết)

\(I\) là trung điểm của \(AK\) (giả thiết)

Và \(HC\) cắt \(AK\) tại \(I\)

Suy ra tứ giác \(AHKC\) là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)

Suy ra \(KH\;{\rm{//}}\;AC\), và \(AH = CK\).

Từ  chứng minh a) có: \(AMHN\) là hình chữ nhật  nên \(AH = MN\)

Vậy \(MN = CK\).

c) Hình chữ nhật \(AMHN\) có \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(MN\).

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AH\).

Xét \(\Delta HAC\) có: \(CO,\;AI\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(D\)

Suy ra \(AD = \frac{2}{3}AI\)

Theo giả thiết \(I\) là trung điểm của \(AK\) nên \(AI = \frac{1}{2}AK\)

Do đó \(AD = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\) hay \(AK = 3AD\).