1) Để đo khoảng cách giữa hai vị trí \(B\) và \(N\) ở hai bên bờ sông, bạn Minh chọn ba vị trí \(A,\;M,\;C\) cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm \(A,\;M,\;C\) thẳng hàng; ba điểm \(B,\;N,\;A\) thẳng hàng và \(BC\,{\rm{//}}\,MN\) (như hình vẽ). Sau đó bạn Minh đo được \(CM = 60\,{\rm{m}}\), \(AM = 50\,{\rm{m}}\), \(AN = 55\,{\rm{m}}\). Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí \(B\) và \(N\) là bao nhiêu mét?
2) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB < AC\), đường cao \(AH\;\left( {H \in BC} \right).\) \(HM \bot AB\;\left( {M \in AB} \right),\) \(HN \bot AC\;\left( {N \in AC} \right).\)
a) Chứng minh \(AMHN\) là hình chữ nhật.
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HC\), trên tia đối của tia \(IA\) lấy điểm \(K\) sao cho \(I\) là trung điểm của \(AK\). Chứng minh \(KH\,{\rm{//}}\,AC\) và \(MN = CK\).
c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(MN,\) gọi \(D\) là giao điểm của \[CO\] và \(AK\). Chứng minh \(AK = 3AD\).
1) Để đo khoảng cách giữa hai vị trí \(B\) và \(N\) ở hai bên bờ sông, bạn Minh chọn ba vị trí \(A,\;M,\;C\) cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm \(A,\;M,\;C\) thẳng hàng; ba điểm \(B,\;N,\;A\) thẳng hàng và \(BC\,{\rm{//}}\,MN\) (như hình vẽ). Sau đó bạn Minh đo được \(CM = 60\,{\rm{m}}\), \(AM = 50\,{\rm{m}}\), \(AN = 55\,{\rm{m}}\). Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí \(B\) và \(N\) là bao nhiêu mét?
2) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB < AC\), đường cao \(AH\;\left( {H \in BC} \right).\) \(HM \bot AB\;\left( {M \in AB} \right),\) \(HN \bot AC\;\left( {N \in AC} \right).\)
a) Chứng minh \(AMHN\) là hình chữ nhật.
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HC\), trên tia đối của tia \(IA\) lấy điểm \(K\) sao cho \(I\) là trung điểm của \(AK\). Chứng minh \(KH\,{\rm{//}}\,AC\) và \(MN = CK\).
c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(MN,\) gọi \(D\) là giao điểm của \[CO\] và \(AK\). Chứng minh \(AK = 3AD\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 Hà Nội năm học 2023-2024 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
1) Ta có hình vẽ
Xét \(\Delta ABC\) có: \(MN\,{\rm{//}}\,BC\) (giả thiết) suy ra \(\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{AN}}{{BN}}\) (định lý Thalès)
Mà \(AM = 50\;{\rm{m}}\), \(CM = 60\,{\rm{m}}\), \(AN = 55\,{\rm{m}}\) (giả thiết) nên \(\frac{{50}}{{60}} = \frac{{55}}{{BN}}\)
Suy ra \(BN = \frac{{55\,.\;60}}{{50}} = 66\).
Vậy \(BN\) dài \(66\;{\rm{m}}\).
2)
a) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) suy ra \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MAN} = 90^\circ \)
Và \(HM \bot AB\;\left( {M \in AB} \right)\) (giả thiết) suy ra \(\widehat {HMA} = 90^\circ \)
\(HN \bot AC\;\left( {N \in AC} \right)\) (giả thiết) suy ra \(\widehat {HNA} = 90^\circ \)
Xét tứ giác \(AMHN\) có: \(\widehat {MAN} = \widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \)
Vậy tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.
b) Xét tứ giác \(AHKC\) có hai đường chéo là \(AK\) và \(HC\), có:
\(I\) là trung điểm của \(HC\) (giả thiết)
\(I\) là trung điểm của \(AK\) (giả thiết)
Và \(HC\) cắt \(AK\) tại \(I\)
Suy ra tứ giác \(AHKC\) là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)
Suy ra \(KH\;{\rm{//}}\;AC\), và \(AH = CK\).
Từ chứng minh a) có: \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(AH = MN\)
Vậy \(MN = CK\).
c) Hình chữ nhật \(AMHN\) có \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(MN\).
Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AH\).
Xét \(\Delta HAC\) có: \(CO,\;AI\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(D\)
Suy ra \(AD = \frac{2}{3}AI\)
Theo giả thiết \(I\) là trung điểm của \(AK\) nên \(AI = \frac{1}{2}AK\)
Do đó \(AD = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\) hay \(AK = 3AD\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
1) Số tiền cả gốc lẫn lãi ông An nhận được sau năm đầu tiên là: \[100 + 100.5\% = 105\] (triệu đồng).
Vậy số tiền cả gốc lẫn lãi ông An nhận được sau năm thứ hai là: \[105 + 105.6\% = 111,3\] (triệu đồng).
2) Ta có: \[B = 2014 - 2{x^2} - {y^2} + 2xy - 8x + 2y\]
\[ = \frac{{ - 1}}{2}\left( {4{x^2} + 2{y^2} - 4xy + 16x - 4y - 4028} \right)\]
\[ = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {4{x^2} - 2.2x\left( {y - 4} \right) + {{\left( {y - 4} \right)}^2} - {{\left( {y - 4} \right)}^2} + 2{y^2} - 4y - 4028} \right]\]
\[ = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {{{\left( {2x - y + 4} \right)}^2} + {y^2} + 4y - 4044} \right]\]
\[ = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {{{\left( {2x - y + 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} - 4048} \right]\]
Với mọi \[x,y\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y + 4} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y + 2} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\]
Suy ra \[{\left( {2x - y + 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \ge 0\]
Nên \[{\left( {2x - y + 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} - 4048 \ge - 4048\]
Do đó \[\frac{{ - 1}}{2}\left[ {{{\left( {2x - y + 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} - 4048} \right] \le 2024\] hay \[B \le 2024\]
Dấu “=” xảy ra khi: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y + 4} \right)^2} = 0\\{\left( {y + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 2\end{array} \right..\]
Vậy giá trị lớn nhất của \[B\] là 2024 tại \[x = - 3\],\[y = - 2\].
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({x^2} - 4 = {x^2} - {2^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập