1) Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng, biết lãi suất ngân hàng cho bởi bảng sau:

	Lãi suất theo năm
Năm đầu tiên	5%/năm
Năm thứ hai	6%/năm

Dựa vào bảng trên, hãy tính sau khi kết thúc năm thứ hai ông An nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi). Biết rằng sau khi hết năm thứ nhất, ông không rút lãi và tiếp tục gửi cho năm thứ hai.

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[B = 2014 - 2{x^2} - {y^2} + 2xy - 8x + 2y\].

Hướng dẫn giải

1) Số tiền cả gốc lẫn lãi ông An nhận được sau năm đầu tiên là: \[100 + 100.5\%  = 105\] (triệu đồng).

Vậy số tiền cả gốc lẫn lãi ông An nhận được sau năm thứ hai là: \[105 + 105.6\%  = 111,3\] (triệu đồng).

2) Ta có: \[B = 2014 - 2{x^2} - {y^2} + 2xy - 8x + 2y\]

\[ = \frac{{ - 1}}{2}\left( {4{x^2} + 2{y^2} - 4xy + 16x - 4y - 4028} \right)\]

\[ = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {4{x^2} - 2.2x\left( {y - 4} \right) + {{\left( {y - 4} \right)}^2} - {{\left( {y - 4} \right)}^2} + 2{y^2} - 4y - 4028} \right]\]

\[ = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {{{\left( {2x - y + 4} \right)}^2} + {y^2} + 4y - 4044} \right]\]

\[ = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {{{\left( {2x - y + 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} - 4048} \right]\]

Với mọi \[x,y\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y + 4} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y + 2} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\]

Suy ra \[{\left( {2x - y + 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \ge 0\]

Nên \[{\left( {2x - y + 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} - 4048 \ge  - 4048\]

Do đó \[\frac{{ - 1}}{2}\left[ {{{\left( {2x - y + 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} - 4048} \right] \le 2024\] hay \[B \le 2024\]

Dấu “=” xảy ra khi:  \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y + 4} \right)^2} = 0\\{\left( {y + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 2\end{array} \right..\]

Vậy giá trị lớn nhất của \[B\] là 2024 tại \[x =  - 3\],\[y =  - 2\].