Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + xy - 3x - 3y + 3 = 0.\) Chứng minh biểu thức \(P = {\left( {3x + 2y - 6} \right)^{1010}} + {\left( {x - y + 1} \right)^{1011}} + 2021\) có giá trị là một số nguyên.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Ghi lại chữ cái đứng trước đáp án đúng vào bài làm.

Kết quả của phép tính \(2{x^2}y + 3x{y^2} - \left( {2x{y^2} - 3{x^2}y} \right)\) là:

a) Tính giá trị của biểu thức \(D = {x^3} - 3{x^2} - 8x + 12\) biết \(\left| {x - 1} \right| = 2.\)

b) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\) và \(y:\)

\(E = {\left( {2x - y} \right)^2} + {\left( {3x + y} \right)^2} + 2\left( {2x - y} \right)\left( {3x + y} \right) - 25\left( {1 + x} \right)\left( {x - 1} \right).\)

Cho hình thang cân \(ABCD\,\,\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD} \right)\) có \(\widehat {A\,\,} - \widehat {C\,} = 20^\circ .\) Số đo \(\widehat {A\,\,}\) và \(\widehat {C\,}\) lần lượt là:

PHẦN II. TỰ LUẬN

a) Thu gọn và tìm bậc của đơn thức \(A = 2x{y^2} \cdot \left( { - \frac{7}{2}{x^4}y} \right).\)  

b) Cho đa thức \(B = 2xy + 4{x^3}y - 5{y^2} - 4.\) Tìm đa thức \(C\) sao cho \(B + C = 4{x^3}y - 4{y^2} + 3.\)  

Tìm \(x,\) biết:

a) \(6x\left( {3 - x} \right) + 6{x^2} - 15x = 18.\)      

b) \(4\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) - x\left( {4{x^2} - 3x} \right) = 6x + 108.\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right),\) có \(I\) là trung điểm của cạnh \(AC.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AB,\) đường thẳng này cắt tia \(BI\) tại \(D.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABI = \Delta CDI\) và suy ra tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

b) Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(IK\,{\rm{//}}\,AB\,\,\left( {K \in BC} \right).\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(K\) xuống cạnh \(AB.\) Chứng minh \(AK = IH.\)

c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AK\) và \(BD.\) Chứng minh ba điểm \(H,\,\,G,\,\,C\) thẳng hàng.