Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + xy - 3x - 3y + 3 = 0.\) Chứng minh biểu thức \(P = {\left( {3x + 2y - 6} \right)^{1010}} + {\left( {x - y + 1} \right)^{1011}} + 2021\) có giá trị là một số nguyên.
Câu hỏi trong đề: Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 Hà Nội năm học 2023-2024 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có: \({x^2} + {y^2} + xy - 3x - 3y + 3 = 0\)
\(4{x^2} + 4{y^2} + 4xy - 12x - 12y + 12 = 0\)
\(4{x^2} + 2 \cdot 2x \cdot \left( {y - 3} \right) + {\left( {y - 3} \right)^2} + 3{y^2} - 6y + 3 = 0\)
\({\left( {2x + y - 3} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\)
Với mọi \(x,\,\,y\) ta có \({\left( {2x + y - 3} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {2x + y - 3} \right)^2} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2x + y - 3} \right)^2} = 0;\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = y = 1.\)
Thay \(x = y = 1\) vào biểu thức \(P,\) ta được:
\(P = {\left( {3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 6} \right)^{1010}} + {\left( {1 - 1 + 1} \right)^{1011}} + 2\,\,021 = {\left( { - 1} \right)^{1010}} + {1^{1011}} + 2\,\,021 = 2\,\,023.\)
Vậy biểu thức \(P\) có giá trị là một số nguyên.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Xét \[\Delta ABI\] và \[\Delta CDI\] có:
\(\widehat {BIA} = \widehat {DIC}\) (đối đỉnh);
\(IA = IC\) (do \(I\) là trung điểm của cạnh \(AC);\)
\(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\) (cặp góc so le trong do \(AB\,{\rm{//}}\,CD).\)Do đó \[\Delta ABI = \Delta CDI\] (g.c.g).
Suy ra \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng).
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AB = CD\) nên là hình bình hành.
b) Cách 1: Vì \(AC \bot AB\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\) và \(KH \bot AB\) nên \(HK\,{\rm{//}}\,AI.\)
Xét tứ giác \(AIKH\) có \(HK\,{\rm{//}}\,AI\) và \(IK\,{\rm{//}}\,AH\) nên là hình bình hành.
Lại có \(\widehat {HAI} = 90^\circ \) nên \(AIKH\) là hình chữ nhật.
Suy ra \(AK = IH\) (tính chất hình chữ nhật).
Cách 2: Vì \(IK\,{\rm{//}}\,AB\) mà \(AB \bot AC\) nên \(IK \bot AC,\) hay \(\widehat {AIK} = 90^\circ .\)
Xét tứ giác \(AIKH\) có \(\widehat {AHK} = \widehat {AIK} = \widehat {HAI} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.
Suy ra \(AK = IH\) (tính chất hình chữ nhật).
c) Vì \(AIKH\) là hình chữ nhật nên \(AI = HK\) và \(AH = IK\) (tính chất hình chữ nhật).
Mà \(AI = IC\) nên \(HK = IC.\)
Xét tứ giác \(IHKC\) có \(HK\,{\rm{//}}\,IC\) và \(HK = IC\) nên là hình bình hành.
Do đó \(HI = KC\) và \(HI\,{\rm{//}}\,KC\) (tính chất hình bình hành).
Xét tứ giác \(HIKB\) có \[HI\,{\rm{//}}\,BK\] và \(BH\,{\rm{//}}\,IK\) nên là hình bình hành.
Do đó \(HI = BK\) và \(HB = IK\) (tính chất hình bình hành).
Ta có \(BK = HI\) và \(HI = KC\) nên \(BK = KC,\) hay \(K\) là trung điểm của \(BC.\)
\(AH = IK\) và \(HB = IK\) nên \(AH = HB,\) hay \(H\) là trung điểm của \(AB.\)
Khi đó \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(AK\) và \(BI\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác, do đó đường trung tuyến \(CH\) đi qua \(G,\) nên ba điểm \[H,{\rm{ }}G,{\rm{ }}C\] thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(\left| {x - 1} \right| = 2\)
\(x - 1 = 2\) hoặc \(x - 1 = - 2\)
\(x = 3\) hoặc \(x = - 1.\)
⦁ Thay \(x = 3\) vào biểu thức \[D,\] ta được:
\(D = {3^3} - 3 \cdot {3^2} - 8 \cdot 3 + 12 = 27 - 27 - 24 + 12 = - 12.\)
⦁ Thay \(x = - 1\) vào biểu thức \[D,\] ta được:
\(D = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 8 \cdot \left( { - 1} \right) + 12 = - 1 - 3 + 8 + 12 = 16.\)
b) \(E = {\left( {2x - y} \right)^2} + {\left( {3x + y} \right)^2} + 2\left( {2x - y} \right)\left( {3x + y} \right) - 25\left( {1 + x} \right)\left( {x - 1} \right).\)
\( = \left[ {{{\left( {2x - y} \right)}^2} + 2 \cdot \left( {2x - y} \right) \cdot \left( {3x + y} \right) + {{\left( {3x + y} \right)}^2}} \right] - 25\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\)
\[ = {\left( {2x - y + 3x + y} \right)^2} - 25\left( {{x^2} - 1} \right)\]
\[ = {\left( {5x} \right)^2} - 25{x^2} + 25\]
\[ = 25{x^2} - 25{x^2} + 25 = 25.\]
Vậy giá trị của biểu thức \(E\) không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\) và \(y.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập