(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}\) với \(x > 0,x \ne 4\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\).

3) Xét biểu thức \(P = A.B\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(P \le 6\).

1) Thay \(x = 9\) (tmđk) vào biểu thức \(A\) ta được:

\(A = \frac{{9 - 3}}{{\sqrt 9 }} = \frac{6}{3} = 2\)

2) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x  + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\).

c) Ta có: \(P = A \cdot P = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

Để \(P \le 6\) thì \(P - 6 \le 0\) hay \(\frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 2}} - 6 \le 0\)

\(\frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{6\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\)

\(\frac{{x - 6\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\)

\(\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\)

Mà \({\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\)

Suy ra \({\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} = 0\) hoặc \(\sqrt x  - 2 < 0\)

Xét \({\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} = 0\) suy ra \(x = 9\)

Xét \(\sqrt x  - 2 < 0\) suy ra \(\sqrt x  < 2\) suy ra \(x < 4\).

Kết hợp với điều kiện xác định ta được \(x \in \left\{ {1;2;3;9} \right\}\).

Vậy với \(x \in \left\{ {1;2;3;9} \right\}\) thì \(P \le 6\).