(2,5 điểm)

Một xưởng may theo kế hoạch mỗi ngày may được 30 chiếc áo. Nhờ cải tiến kĩ thuật nên thực tế mỗi ngày may được nhiều hơn so với kế hoạch 10 chiếc áo. Do đó xưởng đã vượt kế hoạch 20 chiếc áo và hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày. Tính số áo xưởng phải may theo kế hoạch.

Gọi \(x,\;y\) lần lượt là số tờ tiền loại \(10\,\,000\) đồng và \(20\,\,000\) đồng lúc đầu \(\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x,\,\,y < 20} \right).\)

Tổng số tờ tiền là 20 nên \(x\; + \;y\; = \;20\) (1)

Tổng số tiền Thái có là: \(10\,\,000x\; + \;20\,\,000y\) (đồng).

Sau khi thanh toán đơn hàng \(300\,\,000\) đồng, Thái còn lại một tờ \(20\,\,000\) đồng. Khi đó tổng số tiền ban đầu là: \(300\;\;000\; + \;20\;\;000\; = \;320\;\;000\) (đồng).

Ta có phương trình: \(10\;\;000x\; + \;20\;\;000y\; = \;320\;\;000\) hay \(x\; + \;2y\; = \;32\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 20}\\{x + 2y = 32}\end{array}} \right.\).

Trừ vế theo vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được \(y = 12\) (TMĐK).

Thay \(y = 12\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(x + 12 = 20\) suy ra \(x = 8\) (TMĐK).

Vậy lúc đầu Thái có 8 tờ \(10\,\,000\) đồng và 12 tờ \(20\,\,000\) đồng.

Ta có \({\rm{\Delta }} = {3^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - {m^2} + 2} \right) = 9 + 4{m^2} - 8 = 4{m^2} + 1\).

Vì \({\rm{\Delta }} = 4{m^2} + 1 > 0\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 3}\\{{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 2}\end{array}} \right.\).

Ta có \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - {x_1}\left( {{x_1} + 3} \right) = 3\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - x_1^2 - 3{x_1} = 3\).

Vì \({x_1}\) là nghiệm nên \(x_1^2 + 3{x_1} - {m^2} + 2 = 0\) hay \(x_1^2 + 3{x_1} = {m^2} - 2\). Thay vào ta có:

\({\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + 2} \right) - \left( {{m^2} - 2} \right) = 3\)

\(9 + 4{m^2} - 8 - {m^2} + 2 = 3\)

\(3{m^2} + 3 = 3\)

\(3{m^2} = 0\)

\(m = 0\).

Với \(m = 0\), thay vào biểu thức \(P\), ta có: \(P = \sqrt {2025 + {0^2}}  = \sqrt {2025}  = 45.\)

Vậy \(P = 45.\)