Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\].

Đáp án: 864

Đáy ABCD là hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ  \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.

Gọi độ dài cạnh hình thoi là \(x\).

Vì \(C'A = C'B = C'C\) nên hình chiếu vuông góc của C' lên mặt đáy (ABC) phải cách đều 3 đỉnh A, B, C. Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) đều chính là trọng tâm G của tam giác đó.

Suy ra \(C'G \bot (ABCD)\) và C'G chính là chiều cao \(h\) của lăng trụ.

Gọi M là trung điểm của BC. Trong \(\Delta ABC\) đều, \(AM \bot BC\) và điểm G nằm trên AM. Do đó \(GM \bot BC\).

Ta có \(BC \bot C'G\) và \(BC \bot GM \Rightarrow BC \bot (C'GM) \Rightarrow BC \bot C'M\).

Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) chính là \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta C'GM\) vuông tại \(G\), có \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow h = C'G = GM\).

Ta có \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\). Vậy \(h = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Vì \(AA'\parallel CC'\) nên \(AA'\parallel (BCC'B')\). Do đó, khoảng cách \(d(AA',BC) = d(A,(BCC'B')) = 6\sqrt 3 \).

Trong mặt phẳng \((C'AM)\), kẻ \(AH \bot C'M\) tại \(H\). Vì \(BC \bot (C'AM)\) nên \(BC \bot AH\). Suy ra \(AH \bot (BCC'B')\). Khoảng cách chính là đoạn \(AH = 6\sqrt 3 \).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(G\) lên C'M. Do A, G, M thẳng hàng và \(AM = 3GM\) nên \(d(A,(BCC'B')) = 3d(G,(BCC'B')) \Rightarrow AH = 3GK\).

Trong \(\Delta C'GM\) vuông cân tại \(G\): \(GK = \frac{{C'G \cdot GM}}{{\sqrt {C'{G^2} + G{M^2}} }} = \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có phương trình: \(AH = 3 \cdot \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 3  \Rightarrow GM = 2\sqrt 6 \).

Thay \(GM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\) vào, ta được: \(\frac{{x\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 6  \Rightarrow x = 12\sqrt 2 \).

Suy ra chiều cao \(h = GM = 2\sqrt 6 \).

Diện tích đáy (hình thoi ABCD) bằng 2 lần diện tích \(\Delta ABC\):

\({S_{ABCD}} = 2 \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(12\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{2} = 144\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ: \(V = {S_{ABCD}} \cdot h = 144\sqrt 3  \cdot 2\sqrt 6  = 288\sqrt {18}  = 864\sqrt 2 \).

Theo đề bài \(V = a\sqrt 2 \), ta suy ra \(a = 864\).

Đáp án: \(33,2\).

Dựng trục \(Ox\) như hình vẽ

Xét mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(K\) có hoành độ bằng \(x\left( {0 \le x \le 4} \right)\), thiết diện thu được là hình viên phân \(IMN\) có bán kính \(r = KI = KM = KN\).

Ta có \(\frac{{IK}}{{OA}} = \frac{{SK}}{{SO}} \Rightarrow IK = \frac{{OA.SK}}{{SO}} = \frac{{6.\left( {8 - x} \right)}}{8} = \frac{{3\left( {8 - x} \right)}}{4} = 6 - 0,75x \Rightarrow r = 6 - 0,75x\).

\({S_{\Delta KMN}} = \frac{1}{2}KH.MN = \frac{1}{2}.3.2\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Đặt \(\widehat {MKN} = \alpha \left( {rad} \right) \Rightarrow \widehat {IKM} = \frac{\alpha }{2}\).

Ta có \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{r} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} = shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) \Rightarrow \alpha  = 2shiftcos\left( {\frac{3}{r}} \right)\)

\({S_{quat}} = \frac{\alpha }{{2\pi }}.\pi {r^2} = \frac{{\alpha .{r^2}}}{2} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right)\)

Diện tích thiết diện là

\(S\left( x \right) = {S_{quat}} - {S_{\Delta KMN}} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) - 3\sqrt {{r^2} - 9} \)

\( = {\left( {6 - 0,75x} \right)^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{{6 - 0,75x}}} \right) - 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Thể tích cần tính là: \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx}  \approx 33,2\) (Sử dụng máy tính).