Một công ty kiến trúc thiết kế một trạm dừng chân hiện đại có hình dáng là một khối lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\), đảm bảo các yêu cầu sau:

·            Mặt sàn \(\left( {ABC} \right)\) là một tam giác đều có cạnh bằng \(6\)m.

·            Cột trụ chính \(AA'\) được đặt nghiêng sao cho hình chiếu vuông góc của đỉnh mái \(A'\) lên mặt sàn \(\left( {ABC} \right)\) trùng khớp với trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

·            Khoảng cách giữa cột trụ \(AA'\) và mép sàn \(BC\) là \(1,5\sqrt 3 \)m.

Phần không gian giới hạn trong khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích là \(18\sqrt m \) (m³). Tìm \(m\).

Chọn a) Sai | b) Sai| c) Sai | d) Đúng

a) Ta có \(y'\left( t \right) = k \cdot y\left( t \right) \Leftrightarrow \frac{{y'}}{y} = k\)

\( \Leftrightarrow \int {\frac{{y'}}{y}{\rm{d}}t = \int {k{\rm{ d}}t} } \)\( \Leftrightarrow \int {\frac{{{\rm{d}}y}}{y} = k\int {{\rm{d}}t} }  \Leftrightarrow \ln y\left( t \right) = kt + C\)

\( \Rightarrow y\left( t \right) = {{\rm{e}}^{kt + C}}\).

Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(y\left( 0 \right) = T\left( 0 \right) - 20 = 80 - 20 = 60\).

Do đó \(60 = {{\rm{e}}^C} \Leftrightarrow C = \ln 60\).

Suy ra \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{kt}}\).

Tại \(t = 15\), ta có \(y\left( {15} \right) = T\left( {15} \right) - 20 = 50 - 20 = 30\).

Suy ra \(30 = 60 \cdot {{\rm{e}}^{k \cdot 15}} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{k \cdot 15}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k =  - \frac{1}{{15}} \cdot \ln 2\)

Do đó \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot t}}\).

Chọn SAI.

b) Ta có \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot t}}\) suy ra \(T\left( t \right) = y\left( t \right) + 20 = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot t}} + 20\).

\( \Rightarrow T\left( {30} \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot 30}} + 20 = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - 2\ln 2}} + 20 = 60 \cdot {2^{ - 2}} + 20 = 35\).

Chọn SAI.

c) Theo trên, ta có \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{kt}}\).

Chọn ĐÚNG.

d) Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(y\left( 0 \right) = T\left( 0 \right) - 20 = 80 - 20 = 60\).

Do đó \(60 = {{\rm{e}}^C} \Leftrightarrow C = \ln 60\).

Chọn ĐÚNG.

a) Sai

Từ phương trình mặt cầu, ta xác định được tâm của mặt cầu là \(I\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 1} \right)\) và \(R = \sqrt 6 \).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MI}  = \left( {4\,;\,0\,;\, - 1} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = \left( { - 3\,;\, - 6\,;\, - 12} \right)\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(d\) là \({\rm{d}}\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

b) Đúng

Để thời gian con kiến bò là ngắn nhất, quãng đường đi từ \(A\) đến \(B\) trên bề mặt cục đá phải là cung nhỏ \(AB\) của đường tròn lớn đi qua \(A\) và \(B\).

Bán kính đường tròn lớn là bán kính mặt cầu: \[R = \sqrt 6 \,{\rm{dm}} = 10\sqrt 6 \,{\rm{cm}}\].

Góc ở tâm chắn cung nhỏ \(AB\) tính bằng radian là; \(\alpha  = \arccos \left( { - \frac{1}{9}} \right) \approx 1,682\) (rad).

Độ dài quãng đường ngắn nhất là độ dài cung \(AB\) là:

\(S = R\,.\,\alpha  = 10\sqrt 6 \,.\,1,682 \approx 41,204{\rm{ (cm)}}\)

Thời gian ngắn nhất để con kiến hoàn thành chuyến đi là:

\(t = \frac{S}{v} = \frac{{41,204}}{2} \approx 21{\rm{ (gi\^a y)}}\).

c) Đúng

Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của mặt sàn và tấm ván.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\) hay \(H \in d\).

Mà \(A\), \(B\) là các tiếp điểm của tấm ván và mặt sàn với mặt cầu.

\( \Rightarrow HA \bot IA\), \(HB \bot IB\).

Do đó, \(HA\), \(HB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(H\).

\( \Rightarrow \widehat {AIH} = \widehat {BIH}\) hay \(\widehat {AIB} = 2\widehat {AIH}\).

Ta có \(IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos \widehat {AIH} = \frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \cos \widehat {AIB} = \cos \left( {2\widehat {AIH}} \right) = 2{\cos ^2}\widehat {AIH} - 1 = 2\,.\,{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 =  - \frac{1}{9}\).

Vậy \(a =  - 1\), \(b = 9 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {9^2} = 82\).

d) Đúng