Một người điều khiển xe ô tô với vận tốc \(72\)km/h thì phát hiện ở phía trước cách vị trí xe một đoạn 100 mét có công trường đang thi công có gắn biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép là \(36\;\)km/h. Hai giây sau đó, tài xế bắt đầu đạp phanh giảm tốc với vận tốc \({v_1}(t) = at + b\)(m/s) (với \(a,b \in \mathbb{R}\) và \(a < 0\)), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi xe bắt đầu giảm tốc độ. Khi ô tô vừa đến vị trí đặt biển báo thì tốc độ đạt đúng \(36\;\)km/h. Sau khi đi qua hết đoạn đường công trường dài 200 mét với vận tốc không đổi, xe bắt đầu tăng tốc với vận tốc \({v_2}\left( {{t_1}} \right) = m{t_1} + n\) \((m,n \in \mathbb{R},m > 0)\), trong đó \({t_1}\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi ô tô vừa ra khỏi công trường. Biết rằng đúng 10 giây sau khi tăng tốc, xe đạt vận tốc \(72\)km/h.

a) Ta có \(A\left( {0;0;0,1} \right)\) và \({R_1} = 6\); \(B\left( {10;0;0,1} \right)\) và \({R_2} = 8\). Gọi \(O,\,B'\) lần lượt là chân của trạm phát sóng A và B.

Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {(z - 0,1)^2} = 36\). Vậy a – đúng.

b) Gọi \(H;\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành và trục tung

Có tam giác \(ACB\) vuông vì\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\)

Điểm C (nút giao đường) nằm trên mặt đất \((Oxy)\), có tung độ dương nên tọa độ \(C(x;y;0)\) thuộc 2 mặt cầu \({x^2} + {y^2} = {6^2}\) và \({(x - 10)^2} + {y^2} = {8^2}\).

Giải hệ phương trình ta được \(x = 3,6\) và \(y = 4,8\). Vậy \(C(3,6;4,8;0)\).

Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng AC là \(\overrightarrow n (36;48; - 1)\)

Vậy phương trình đường thẳng AC là \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{{ - 1}}\). Vậy b – sai.

c) Ta có \(OC = 6km;\,CD = 60m = 0,06km\)\( \Rightarrow OD = OC - CD = 6 - 0,06 = 5,94\)

Có \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OE = \frac{{OH \times OD}}{{OC}} = 3,564\)

Có \(\frac{{OF}}{{OK}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OF = \frac{{OK \times OD}}{{OC}} = 4,752\), vậy \(D\left( {3,564;\,4752;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow BD = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + {{(4,752)}^2} + 0,{1^2}}  = 8,00085 > 8\). Vậy c – đúng.

d) Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên \(BB'\)

\( \Rightarrow {F_2}B = 3;\,\,BJ = 0,05;\,\,{F_2}J = \sqrt {{3^2} - 0,{{05}^2}}  = 2,999583304\)

Gọi G là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên mặt phẳng \(Oxy\)

\({F_2}D = \sqrt {{F_2}{G^2} + D{G^2}} \), nên \({F_2}D\) đạt lớn nhất khi \(DG\) lớn nhất, khi đó \(D,\,\,B',\,\,G\)thẳng hàng

\( \Rightarrow DG = DB' + B'G\) \( = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + 4,{{752}^2}}  + 2,999583304 \approx 10,9998083\).

\( \Rightarrow D{F_2} = \sqrt {0,{{05}^2} + D{G^2}}  = 10,99992194\)

Lại có \(D{F_1}\) lớn nhất khi \(D,\,\,A,\,\,{F_1}\) thẳng hàng\( \Rightarrow D{F_1} = {R_1} + AD = 6 + 5,94 = 11,94\)

Tổng khoảng cách lớn nhất \(D{F_1} + D{F_2} = 22,9392194 \approx 23\) km. Vậy d – sai.

Đáp án: 12.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;1; - 2} \right) \Rightarrow AB = 3\). Vì \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) nên \(AB \bot \left( P \right)\).

Ta tính được \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4\) và \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 7\]. Gọi \(I\) là hình chiếu của \[A\] lên \[\left( P \right)\].

Do \[I \in AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 5 + t\\ =  - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2 + 2t;5 + t; - 1 - 2t} \right) \in \left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0\]

\[ \Rightarrow 2\left( {2 + 2t} \right) + 5 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{4}{3} \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\].

Gọi \[E\] là tâm mặt cầu và \[M\] là trung điểm \[AB\], ta có: \[MA = MB = \frac{{AB}}{2} = \frac{3}{2}\].

Với \[C\] là tiếp điểm của mặt cầu và \[\left( P \right)\], \[{R_{mc}} = EC = MA + d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{3}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}\]

\[ \Rightarrow CI = d\left( {I,AB} \right) = \sqrt {R_{mc}^2 - M{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 7 \].

Vậy tiếp điểm \[C\] chuyển động trên đường tròn tâm \[I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\], bán kính \[2\sqrt 7 \].

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[O\] lên \[\left( P \right)\], suy ra \[OH = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{3}\].

Lại có: \[OI = \frac{{5\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow IH = \sqrt {O{I^2} - O{H^2}}  = \frac{{\sqrt {149} }}{3} < 2\sqrt 7 \].

Do đó, \[O{C_{\min }} = O{C_1} = \sqrt {O{H^2} + {C_1}{H^2}} \] với \[{C_1}H = CI - IH = 2\sqrt 7  - \frac{{\sqrt {149} }}{3} = \frac{{ - \sqrt {149}  + 6\sqrt 7 }}{3}\]

\[ \Rightarrow O{C_{\min }} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - \sqrt {149}  + 6\sqrt 7 }}{3}} \right)}^2}}  \approx 1,2673\] (chục mét).

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành việc kết nối cáp là \[1,2673 \times 10 \times 950.000 \approx 12\] (triệu đồng).