Một nghệ nhân chế tác một ô cửa sổ trang trí hình vuông \(OABC\) cạnh bằng \(2,4\;m\). Ô cửa được chia thành các phần bởi hai thanh đồng uốn cong có hình dạng là hai đường parabol \(\left( {{P_1}} \right),\;\left( {{P_2}} \right)\) và điểm chốt \(M\) nằm trong ô cửa sao cho khoảng cách từ \(M\) đến các cạnh \(OA,\;OC\)cùng bằng \(0,9\;m\). Parabol \(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua các điểm \(O,\;A,\;M\), parabol \(\left( {{P_2}} \right)\)đi qua các điểm \(O,\;C,\;M\). Phần tô đậm (hình vẽ bên dưới) được lắp loại kính sapphire cao cấp có giá \(8\) triệu đồng một mét vuông, phần còn lại được lắp kính trắng trong suốt có giá \(2\) triệu đồng một mét vuông. Tổng số tiền kính để làm cửa sổ là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Đúng | d) Đúng

Đổi \(72\)km/h=\(20\)m/s, \(36\)km/h \( = 10\)m/s.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi phát hiện biển báo giới hạn tốc độ đến khi bắt đầu giảm tốc độ là \(s = 20 \times 2 = 40\left( m \right)\)

Chọn ĐÚNG.

b) Quãng đường mà ô tô đi từ khi giảm tốc độ đến khi gặp biển báo là \({s_2} = 100 - 40 = 60\).

Tại thời điểm \(t = 0\), vận tốc của ô tô là \({v_0} = 20\)(m/s) nên suy ra \(20 = a \times 0 + b \Leftrightarrow b = 20\).

Thời gian ô tô đi được từ khi giảm tốc độ đến khi gặp biển báo là

\(a \times t + 20 = 10 \Leftrightarrow t =  - \frac{{10}}{a}\).

Suy ra \(\int\limits_0^{ - \frac{{10}}{a}} {\left( {at + 20} \right){\rm{d}}t = 60 \Leftrightarrow a =  - 2,5} \).

Vậy \({v_1}\left( t \right) =  - 2,5t + 20\).

Chọn SAI.

c) Khi ô tô đến chỗ biển báo, ta có \({v_1}\left( t \right) = 10\)\( \Leftrightarrow  - 2,5t + 20 = 10 \Leftrightarrow t = 4\).

Chọn ĐÚNG.

d) Ta chọn lại mốc thời gian: \(t = 0\) là lúc ô tô bắt đầu tăng tốc.

Khi ô tô bắt đầu tăng tốc, ta có \({v_2}\left( 0 \right) = 10\)

\( \Rightarrow m \cdot 0 + n = 10 \Leftrightarrow n = 10\).

Sau \(10\) giây, ô tô đạt vận tốc \(20\)m/s nên ta có \({v_2}\left( {10} \right) = m \cdot 10 + 10 = 20 \Leftrightarrow m = 1\).

Suy ra \({v_2}\left( t \right) = t + 10\).

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi phát hiện có công trường đang thi công đến khi đạt vận tốc \(72\)km/h là

\(s = 100 + 200 + \int\limits_0^{10} {\left( {t + 10} \right){\rm{d}}t = 450} \)(m)

Chọn ĐÚNG.

a) Ta có \(A\left( {0;0;0,1} \right)\) và \({R_1} = 6\); \(B\left( {10;0;0,1} \right)\) và \({R_2} = 8\). Gọi \(O,\,B'\) lần lượt là chân của trạm phát sóng A và B.

Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {(z - 0,1)^2} = 36\). Vậy a – đúng.

b) Gọi \(H;\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành và trục tung

Có tam giác \(ACB\) vuông vì\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\)

Điểm C (nút giao đường) nằm trên mặt đất \((Oxy)\), có tung độ dương nên tọa độ \(C(x;y;0)\) thuộc 2 mặt cầu \({x^2} + {y^2} = {6^2}\) và \({(x - 10)^2} + {y^2} = {8^2}\).

Giải hệ phương trình ta được \(x = 3,6\) và \(y = 4,8\). Vậy \(C(3,6;4,8;0)\).

Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng AC là \(\overrightarrow n (36;48; - 1)\)

Vậy phương trình đường thẳng AC là \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{{ - 1}}\). Vậy b – sai.

c) Ta có \(OC = 6km;\,CD = 60m = 0,06km\)\( \Rightarrow OD = OC - CD = 6 - 0,06 = 5,94\)

Có \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OE = \frac{{OH \times OD}}{{OC}} = 3,564\)

Có \(\frac{{OF}}{{OK}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OF = \frac{{OK \times OD}}{{OC}} = 4,752\), vậy \(D\left( {3,564;\,4752;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow BD = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + {{(4,752)}^2} + 0,{1^2}}  = 8,00085 > 8\). Vậy c – đúng.

d) Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên \(BB'\)

\( \Rightarrow {F_2}B = 3;\,\,BJ = 0,05;\,\,{F_2}J = \sqrt {{3^2} - 0,{{05}^2}}  = 2,999583304\)

Gọi G là hình chiếu vuông góc của \({F_2}\) lên mặt phẳng \(Oxy\)

\({F_2}D = \sqrt {{F_2}{G^2} + D{G^2}} \), nên \({F_2}D\) đạt lớn nhất khi \(DG\) lớn nhất, khi đó \(D,\,\,B',\,\,G\)thẳng hàng

\( \Rightarrow DG = DB' + B'G\) \( = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + 4,{{752}^2}}  + 2,999583304 \approx 10,9998083\).

\( \Rightarrow D{F_2} = \sqrt {0,{{05}^2} + D{G^2}}  = 10,99992194\)

Lại có \(D{F_1}\) lớn nhất khi \(D,\,\,A,\,\,{F_1}\) thẳng hàng\( \Rightarrow D{F_1} = {R_1} + AD = 6 + 5,94 = 11,94\)

Tổng khoảng cách lớn nhất \(D{F_1} + D{F_2} = 22,9392194 \approx 23\) km. Vậy d – sai.