Hai trạm phát sóng A và B được đặt cách nhau \(10km\) trên một vùng đất bằng phẳng. Để đảm bảo phủ sóng tốt, cả hai trạm đều được xây trên các trụ cao \(100m\). Trạm A có bán kính phát sóng \(6km\), và trạm B có bán kính phát sóng \(8km\). Trên mặt đất có nút giao hai con đường ở vị trí C cách chân trạm phát sóng A và B lần lượt là \(6km\) và \(8km\). Hai flycam \({F_1}\) và \({F_2}\) luôn hoạt động trong vùng phủ sóng của trạm A và trạm B tương ứng. Một ô tô đang di chuyển trên con đường thẳng nối từ chân trạm A đến C, rồi cua vào đường thẳng từ C đến chân trạm B. Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với điểm \(O\) trùng với chân trạm A, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt đất, tia \(Oz\) hướng thẳng đứng lên, chân trạm B nằm trên tia \(Ox\) và điểm C có tung độ dương. Đơn vị mỗi trục tọa độ là 1 km.

Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Đúng | d) Đúng

Đổi \(72\)km/h=\(20\)m/s, \(36\)km/h \( = 10\)m/s.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi phát hiện biển báo giới hạn tốc độ đến khi bắt đầu giảm tốc độ là \(s = 20 \times 2 = 40\left( m \right)\)

Chọn ĐÚNG.

b) Quãng đường mà ô tô đi từ khi giảm tốc độ đến khi gặp biển báo là \({s_2} = 100 - 40 = 60\).

Tại thời điểm \(t = 0\), vận tốc của ô tô là \({v_0} = 20\)(m/s) nên suy ra \(20 = a \times 0 + b \Leftrightarrow b = 20\).

Thời gian ô tô đi được từ khi giảm tốc độ đến khi gặp biển báo là

\(a \times t + 20 = 10 \Leftrightarrow t =  - \frac{{10}}{a}\).

Suy ra \(\int\limits_0^{ - \frac{{10}}{a}} {\left( {at + 20} \right){\rm{d}}t = 60 \Leftrightarrow a =  - 2,5} \).

Vậy \({v_1}\left( t \right) =  - 2,5t + 20\).

Chọn SAI.

c) Khi ô tô đến chỗ biển báo, ta có \({v_1}\left( t \right) = 10\)\( \Leftrightarrow  - 2,5t + 20 = 10 \Leftrightarrow t = 4\).

Chọn ĐÚNG.

d) Ta chọn lại mốc thời gian: \(t = 0\) là lúc ô tô bắt đầu tăng tốc.

Khi ô tô bắt đầu tăng tốc, ta có \({v_2}\left( 0 \right) = 10\)

\( \Rightarrow m \cdot 0 + n = 10 \Leftrightarrow n = 10\).

Sau \(10\) giây, ô tô đạt vận tốc \(20\)m/s nên ta có \({v_2}\left( {10} \right) = m \cdot 10 + 10 = 20 \Leftrightarrow m = 1\).

Suy ra \({v_2}\left( t \right) = t + 10\).

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi phát hiện có công trường đang thi công đến khi đạt vận tốc \(72\)km/h là

\(s = 100 + 200 + \int\limits_0^{10} {\left( {t + 10} \right){\rm{d}}t = 450} \)(m)

Chọn ĐÚNG.

Đáp án: 12.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;1; - 2} \right) \Rightarrow AB = 3\). Vì \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) nên \(AB \bot \left( P \right)\).

Ta tính được \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4\) và \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 7\]. Gọi \(I\) là hình chiếu của \[A\] lên \[\left( P \right)\].

Do \[I \in AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 5 + t\\ =  - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2 + 2t;5 + t; - 1 - 2t} \right) \in \left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0\]

\[ \Rightarrow 2\left( {2 + 2t} \right) + 5 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{4}{3} \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\].

Gọi \[E\] là tâm mặt cầu và \[M\] là trung điểm \[AB\], ta có: \[MA = MB = \frac{{AB}}{2} = \frac{3}{2}\].

Với \[C\] là tiếp điểm của mặt cầu và \[\left( P \right)\], \[{R_{mc}} = EC = MA + d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{3}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}\]

\[ \Rightarrow CI = d\left( {I,AB} \right) = \sqrt {R_{mc}^2 - M{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 7 \].

Vậy tiếp điểm \[C\] chuyển động trên đường tròn tâm \[I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right)\], bán kính \[2\sqrt 7 \].

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[O\] lên \[\left( P \right)\], suy ra \[OH = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{3}\].

Lại có: \[OI = \frac{{5\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow IH = \sqrt {O{I^2} - O{H^2}}  = \frac{{\sqrt {149} }}{3} < 2\sqrt 7 \].

Do đó, \[O{C_{\min }} = O{C_1} = \sqrt {O{H^2} + {C_1}{H^2}} \] với \[{C_1}H = CI - IH = 2\sqrt 7  - \frac{{\sqrt {149} }}{3} = \frac{{ - \sqrt {149}  + 6\sqrt 7 }}{3}\]

\[ \Rightarrow O{C_{\min }} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - \sqrt {149}  + 6\sqrt 7 }}{3}} \right)}^2}}  \approx 1,2673\] (chục mét).

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành việc kết nối cáp là \[1,2673 \times 10 \times 950.000 \approx 12\] (triệu đồng).