PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Trong không gian, xem mặt đất là mặt phẳng, gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)trong đó mặt phẳng \(Oxy\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo trên mỗi trục là \(km\)). Người quan sát thấy có hai chiếc khinh khí cầu đang bay trên bầu trời. Tại thời điểm bắt đầu quan sát, chiếc thứ nhất đang ở vị trí \(A\left( {2;1,5;0,5} \right)\) và bay thẳng về phía bắc với tốc độ không đổi là \(60\)(km/h), còn chiếc thứ hai đang ở vị trí điểm \(B\left( { - 1; - 1;0,8} \right)\) và bay thẳng về phía đông với tốc độ không đổi là \(40\)(km/h). Trong suốt quá trình bay thì hai chiếc khinhh khí cầu này luôn giữ nguyên độ cao so với mặt đất.

Gọi \({A_k}\) là biến cố An rút được thẻ số \(k\), với \(k \in \{ 1,2,3,4,5\} \).

Vì có 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5 và An rút ngẫu nhiên 1 thẻ, nên xác suất An rút được thẻ số \(k\) là \(P({A_k}) = \frac{1}{5}\) cho mỗi \(k\).

Khi An rút được thẻ số \(k\), Bình sẽ gieo \(k\) con xúc xắc. Mỗi con xúc xắc có 6 mặt (1, 2, 3, 4, 5, 6).
a) Xác suất để An chọn được thẻ số 5 là \(P({A_5})\).

Theo lập luận trên, \(P({A_5}) = \frac{1}{5}\). Vậy, phát biểu a) là đúng.

b) Gọi \({S_k}\) là biến cố tổng số chấm trên \(k\) con xúc xắc bằng 8.

Nếu An rút được thẻ số 3, Bình gieo 3 con xúc xắc. Không gian mẫu có \({6^3} = 216\) kết quả đồng khả năng.

Chúng ta cần tìm số cách để tổng số chấm của 3 con xúc xắc là 8. Gọi \(({x_1},{x_2},{x_3})\) là kết quả của 3 con xúc xắc, với \({x_i} \in \{ 1,2,3,4,5,6\} \).

Các bộ \(({x_1},{x_2},{x_3})\) có tổng bằng 8 là:

(1, 1, 6) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (116, 161, 611).

(1, 2, 5) và các hoán vị của nó: Có \(3! = 6\) cách (125, 152, 215, 251, 512, 521).

(1, 3, 4) và các hoán vị của nó: Có \(3! = 6\) cách (134, 143, 314, 341, 413, 431).

(2, 2, 4) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (224, 242, 422).

(2, 3, 3) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (233, 323, 332).

Tổng số kết quả thuận lợi là \(3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21\).

Xác suất để tổng số chấm bằng 8 khi gieo 3 con xúc xắc là \(P({S_3}) = \frac{{21}}{{216}} = \frac{7}{{72}}\).

Vậy, phát biểu b) là đúng.

c) Gọi \(E\) là biến cố không có mặt 6 chấm nào xuất hiện.

Nếu An rút được thẻ số \(k\), Bình gieo \(k\) con xúc xắc. Xác suất để không có mặt 6 chấm nào xuất hiện trên \(k\) con xúc xắc là \(P(E|{A_k})\).

Mỗi con xúc xắc có 5 mặt không phải là 6 chấm (1, 2, 3, 4, 5).

Vậy \(P(E|{A_k}) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^k}\).

Xác suất để không có mặt 6 chấm xuất hiện là \(P(E) = \sum\limits_{k = 1}^5 P (E|{A_k})P({A_k})\).

\(P(E) = \sum\limits_{k = 1}^5 {{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^k}}  \cdot \frac{1}{5}\)\( = \frac{{4651}}{{7776}}\). Vậy, phát biểu c) là đúng.

d) Gọi \(F\) là biến cố có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

Biến cố \(F\) là biến cố đối của biến cố \(E\) (không có mặt 6 chấm nào xuất hiện).

Do đó, \(P(F) = 1 - P(E) = 1 - \frac{{23255}}{{38880}} = \frac{{15625}}{{38880}}\).

Chúng ta cần tính xác suất \(P({A_4}|F)\), tức là xác suất An chọn được thẻ số 4 biết rằng có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

Theo công thức Bayes: \(P({A_4}|F) = \frac{{P(F|{A_4})P({A_4})}}{{P(F)}}\).

Ta có \(P({A_4}) = \frac{1}{5}\).

\(P(F|{A_4})\) là xác suất có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện khi An rút thẻ số 4 (Bình gieo 4 con xúc xắc).

\(P(F|{A_4}) = 1 - P(E|{A_4}) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4} = \frac{{671}}{{1296}}\).
Thay các giá trị vào công thức Bayes ta được: \(P({A_4}|F) = \frac{{4026}}{{15625}}\). Vậy, phát biểu d) là đúng.