Một kĩ sư phần mềm kí hợp đồng lao động với một công ty công nghệ. Theo thỏa thuận, vào đầu mỗi năm làm việc, kĩ sư này nhận mức lương của năm đó. Mức lương năm đầu tiên là \[120\] triệu đồng/ năm. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm mức lương sẽ được tăng thêm \[12\] triệu đồng so với năm liền trước đó.

Chọn a) Sai | b) Đúng| c) Đúng | d) Đúng

a) Khoảng cách giữa hai khinh khí cấu là

\(AB = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1,5 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0,5 - 0,8} \right)}^2}}  \approx 3,92\)km.

Chọn SAI.

b) Tại thời điểm \(t\) chiếc khinh khí cầu thứ nhất ở điểm \(M = A + vt\frac{{ - \overrightarrow i }}{{\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \left( {2 - 60t;1,5;0,5} \right)\).

Chọn SAI.

c) Tại thời điểm \(t\) chiếc khinh khí cầu thứ hai ở điểm \(N = B + vt\frac{{\overrightarrow j }}{{\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \left( { - 1; - 1 + 40t;0,8} \right)\).

Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu tại thời điểm \(t\) là

\(MN = \sqrt {{{\left( {3 - 60t} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 40t} \right)}^2} + 0,{3^2}} \)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {3 - 60t} \right)^2} + {\left( {2,5 - 40t} \right)^2} + 0,{3^2}\)=\(5200{t^2} - 560t + 15,34\)

Suy ra \(\min f\left( t \right) = f\left( {\frac{7}{{130}}} \right)\)

\(M{N_{\min }} = \sqrt {f\left( {\frac{7}{{130}}} \right)}  \approx 0,51\).

Chọn ĐÚNG.

d) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]\( \Rightarrow \)\(A'\left( {2;1,5; - 0,5} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BA'}  = \left( {3;2,5; - 1,3} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t{\rm{     }}}\\{y = 1,5 + 2,5t}\end{array}}\\{z =  - 0,5 - 1,3t}\end{array}} \right.\).

Tọa độ điểm \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là: \(P\left( {\frac{{11}}{{13}};\frac{7}{{13}};0} \right)\).

\( \Rightarrow a = \frac{{11}}{{13}},b = \frac{7}{{13}},c = 0\).

\( \Rightarrow 2a + b + c = \frac{{29}}{{13}}\).

Chọn ĐÚNG.

Gọi \({A_k}\) là biến cố An rút được thẻ số \(k\), với \(k \in \{ 1,2,3,4,5\} \).

Vì có 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5 và An rút ngẫu nhiên 1 thẻ, nên xác suất An rút được thẻ số \(k\) là \(P({A_k}) = \frac{1}{5}\) cho mỗi \(k\).

Khi An rút được thẻ số \(k\), Bình sẽ gieo \(k\) con xúc xắc. Mỗi con xúc xắc có 6 mặt (1, 2, 3, 4, 5, 6).
a) Xác suất để An chọn được thẻ số 5 là \(P({A_5})\).

Theo lập luận trên, \(P({A_5}) = \frac{1}{5}\). Vậy, phát biểu a) là đúng.

b) Gọi \({S_k}\) là biến cố tổng số chấm trên \(k\) con xúc xắc bằng 8.

Nếu An rút được thẻ số 3, Bình gieo 3 con xúc xắc. Không gian mẫu có \({6^3} = 216\) kết quả đồng khả năng.

Chúng ta cần tìm số cách để tổng số chấm của 3 con xúc xắc là 8. Gọi \(({x_1},{x_2},{x_3})\) là kết quả của 3 con xúc xắc, với \({x_i} \in \{ 1,2,3,4,5,6\} \).

Các bộ \(({x_1},{x_2},{x_3})\) có tổng bằng 8 là:

(1, 1, 6) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (116, 161, 611).

(1, 2, 5) và các hoán vị của nó: Có \(3! = 6\) cách (125, 152, 215, 251, 512, 521).

(1, 3, 4) và các hoán vị của nó: Có \(3! = 6\) cách (134, 143, 314, 341, 413, 431).

(2, 2, 4) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (224, 242, 422).

(2, 3, 3) và các hoán vị của nó: Có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách (233, 323, 332).

Tổng số kết quả thuận lợi là \(3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21\).

Xác suất để tổng số chấm bằng 8 khi gieo 3 con xúc xắc là \(P({S_3}) = \frac{{21}}{{216}} = \frac{7}{{72}}\).

Vậy, phát biểu b) là đúng.

c) Gọi \(E\) là biến cố không có mặt 6 chấm nào xuất hiện.

Nếu An rút được thẻ số \(k\), Bình gieo \(k\) con xúc xắc. Xác suất để không có mặt 6 chấm nào xuất hiện trên \(k\) con xúc xắc là \(P(E|{A_k})\).

Mỗi con xúc xắc có 5 mặt không phải là 6 chấm (1, 2, 3, 4, 5).

Vậy \(P(E|{A_k}) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^k}\).

Xác suất để không có mặt 6 chấm xuất hiện là \(P(E) = \sum\limits_{k = 1}^5 P (E|{A_k})P({A_k})\).

\(P(E) = \sum\limits_{k = 1}^5 {{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^k}}  \cdot \frac{1}{5}\)\( = \frac{{4651}}{{7776}}\). Vậy, phát biểu c) là đúng.

d) Gọi \(F\) là biến cố có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

Biến cố \(F\) là biến cố đối của biến cố \(E\) (không có mặt 6 chấm nào xuất hiện).

Do đó, \(P(F) = 1 - P(E) = 1 - \frac{{23255}}{{38880}} = \frac{{15625}}{{38880}}\).

Chúng ta cần tính xác suất \(P({A_4}|F)\), tức là xác suất An chọn được thẻ số 4 biết rằng có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện.

Theo công thức Bayes: \(P({A_4}|F) = \frac{{P(F|{A_4})P({A_4})}}{{P(F)}}\).

Ta có \(P({A_4}) = \frac{1}{5}\).

\(P(F|{A_4})\) là xác suất có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện khi An rút thẻ số 4 (Bình gieo 4 con xúc xắc).

\(P(F|{A_4}) = 1 - P(E|{A_4}) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4} = \frac{{671}}{{1296}}\).
Thay các giá trị vào công thức Bayes ta được: \(P({A_4}|F) = \frac{{4026}}{{15625}}\). Vậy, phát biểu d) là đúng.