Một hạt proton chuyển động trong điện trường từ điểm A(2;1;5) (đơn vị \(mm\)) theo một đường thẳng hướng lên trên. Hướng chuyển động của hạt tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 30°. Biết hình chiếu vuông góc của hướng chuyển động lên mặt phẳng (Oxy) hợp với trục Ox một góc 45°. Vận tốc của hạt tại thời điểm t (giây) là \(v\left( t \right) = k{e^{0,5t}}\left( {mm/s} \right)\) với k là hằng số dương. Biết rằng trong \(2\ln 2\) giây đầu tiên, hạt đi được quãng đường là \(20\;mm\). Gọi \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\)là vị trí của hạt tại thời điểm \(t = 2\) (giây).

Đáp án: \(46\).

Sau ngày 10 tháng 2 năm 2025, số tiền còn lại: \({A_1} = 1000\left( {1 + 0,6\% } \right) - 25\) (triệu đồng).

Sau ngày 10 tháng 3 năm 2025, số tiền còn lại:

\[{A_2} = \left[ {1000\left( {1 + 0,6\% } \right) - 25} \right]\left( {1 + 0,6\% } \right) - 25 = 1000{\left( {1 + 0,6\% } \right)^2} - 25\left( {1 + 0,6\% } \right) - 25\] (triệu đồng).

Sau ngày 10 tháng 4 năm 2025, số tiền còn lại:

\[{A_3} = \left[ {1000{{\left( {1 + 0,6\% } \right)}^2} - 25\left( {1 + 0,6\% } \right) - 25} \right]\left( {1 + 0,6\% } \right) - 25\]

\[ \Rightarrow {A_3} = 1000{\left( {1 + 0,6\% } \right)^3} - 25{\left( {1 + 0,6\% } \right)^2} - 25\left( {1 + 0,6\% } \right) - 25\] (triệu đồng).

Sau \[n\] tháng, số tiền còn lại:

\[{A_n} = 1000{\left( {1 + 0,6\% } \right)^n} - 25{\left( {1 + 0,6\% } \right)^{n - 1}} - 25{\left( {1 + 0,6\% } \right)^{n - 2}} - ... - 25\left( {1 + 0,6\% } \right) - 25\]

\[ \Rightarrow {A_n} = 1000{\left( {1 + 0,6\% } \right)^n} - 25 \times \frac{{{{\left( {1 + 0,6\% } \right)}^n} - 1}}{{0,6\% }}\] (triệu đồng).

Khi rút hết tiền: \[{A_n} = 0 \Rightarrow 1000{\left( {1 + 0,6\% } \right)^n} - 25 \times \frac{{{{\left( {1 + 0,6\% } \right)}^n} - 1}}{{0,6\% }} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {25 - 1000 \times 0,6\% } \right){\left( {1 + 0,6\% } \right)^n} = 25 \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 0,6\% }}\frac{{25}}{{25 - 1000 \times 0,6\% }} \approx 45,8766\] (tháng).

Vậy sau \[46\] tháng thì anh An rút hết tiền trong ngân hàng.

Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai

Gọi các biến cố liên quan đến việc Anna lấy bi từ hộp 1:

 \[{A_1}\]: Anna lấy được 2 bi xanh.

 \[{A_2}\]: Anna lấy được 2 bi đỏ.

 \[{A_3}\]: Anna lấy được 1 bi xanh và 1 bi đỏ (khác màu).

Số cách lấy 2 viên bi từ hộp 1 (tổng 7 viên) là: \[n({\Omega _1}) = C_7^2 = 21\].

a) Số cách Anna lấy 1 xanh và 1 đỏ là: \[C_3^1 \cdot C_4^1 = 12\]nên \[P({A_3}) = \frac{{12}}{{21}} = \frac{4}{7}\].

Kết luận: Phát biểu a) ĐÚNG.

b) Khi Anna lấy được 1 xanh và 1 đỏ cho vào hộp 2, hộp 2 lúc này có:

Xanh: 5 + 1 = 6 viên; Đỏ: 3 + 1 = 4 viên; Tổng: 10 viên.

Số cách Lisa lấy 2 viên từ hộp 2 là \[C_{10}^2 = 45\].

Số cách Lisa lấy 2 viên cùng màu là: \[C_6^2 + C_4^2 = 15 + 6 = 21\].

Xác suất Lisa lấy được 2 viên bi cùng màu trong trường hợp này là: \[P(L|{A_3}) = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}\].

Kết luận: Phát biểu b) SAI.

c)- TH1 (\[{A_1}\]): Anna lấy 2 xanh. Xác suất \[P({A_1}) = \frac{{C_3^2}}{{21}} = \frac{3}{{21}} = \frac{1}{7}\].

Hộp 2 có 7 xanh, 3 đỏ. \[P(L|{A_1}) = \frac{{C_7^2 + C_3^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{21 + 3}}{{45}} = \frac{{24}}{{45}}.\]

-TH2 (\[{A_2}\]): Anna lấy 2 đỏ. Xác suất \[P({A_2}) = \frac{{C_4^2}}{{21}} = \frac{6}{{21}} = \frac{2}{7}\].

Hộp 2 có 5 xanh, 5 đỏ. \[P(L|{A_2}) = \frac{{C_5^2 + C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10 + 10}}{{45}} = \frac{{20}}{{45}}.\]

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho biến cố L (Lisa lấy 2 bi cùng màu):

\[\begin{array}{l}P(L) = P({A_1}) \cdot P(L|{A_1}) + P({A_2}) \cdot P(L|{A_2}) + P({A_3}) \cdot P(L|{A_3})\\P(L) = \frac{1}{7} \cdot \frac{{24}}{{45}} + \frac{2}{7} \cdot \frac{{20}}{{45}} + \frac{4}{7} \cdot \frac{{21}}{{45}} = \frac{{24 + 40 + 84}}{{315}} = \frac{{148}}{{315}} \approx 46,98\% \end{array}\]

Kết luận: Phát biểu c) SAI.

d) Xác suất Anna lấy 2 bi khác màu khi biết Lisa lấy được 2 bi cùng màu

\[\begin{array}{l}P({A_3}|L) = \frac{{P({A_3} \cap L)}}{{P(L)}} = \frac{{P({A_3}) \cdot P(L|{A_3})}}{{P(L)}}\\P({A_3}|L) = \frac{{\frac{4}{7} \cdot \frac{{21}}{{45}}}}{{\frac{{148}}{{315}}}} = \frac{{\frac{{84}}{{315}}}}{{\frac{{148}}{{315}}}} = \frac{{84}}{{148}} = \frac{{21}}{{37}}\end{array}\]

Kết luận: Phát biểu d) SAI.