Ngày 10 tháng 1 năm 2025, anh An gửi vào ngân hàng \(1\) tỷ đồng với lãi suất \(0,6\% \)/tháng. Kể từ tháng 2 năm 2025, cứ vào ngày 10 mỗi tháng anh An đến ngân hàng rút ra \(25\) triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh An rút hết tiền trong ngân hàng (ở tháng cuối cùng, số tiền rút ra có thể ít hơn \(25\) triệu đồng)?

a) Dễ thấy \(c > 0\).

Đường thẳng chuyển động có VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\); mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Do hướng chuyển động của hạt tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 30° nên \(\sin 30^\circ  = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{{\left| c \right|}}{{1.1}} = \left| c \right| \Leftrightarrow c = \frac{1}{2}\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 1\))

b) Dễ thấy đường thẳng chuyển động có phương trình \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 + bt\\z = 5 + ct\end{array} \right.\) và đường thẳng là hình chiếu của \(\Delta \) lên \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 + bt\\z = 0\end{array} \right.\).

Suy ra \(\Delta '\) có VTCP \(\overrightarrow {u'}  = \left( {a;b;0} \right)\) và trục Ox có VTCP là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).

Do \(\Delta '\) hợp với trục Ox một góc 45° nên

\(\cos 45^\circ  = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {1 - {c^2}} }} = \frac{{2\left| a \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left| a \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\)

Từ \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra \({b^2} = 1 - {a^2} - {c^2} = 1 - \frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \Leftrightarrow \left| b \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\).

Do đó khẳng định \(\overrightarrow u  = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)\) là sai.

c) Có \(s = \int\limits_0^{2\ln 2} {k{e^{0,5t}}dt}  = k.2.{e^{0,5t}}|_0^{2\ln 2} = 2k\left( {{e^{\ln 2}} - 1} \right) = 2k = 20 \Leftrightarrow k = 10\).

d) Có \(v\left( t \right) = 10{e^{0,5t}}\) và quãng đường đi được trong 2 giây đầu tiên là

\({s_0} = \int\limits_0^2 {10{e^{0,5t}}dt}  = 20.{e^{0,5t}}|_0^2 = 20\left( {e - 1} \right)\)

Và với độ dài đoạn \(AB = 20\left( {e - 1} \right)\) và do hướng chuyển động của hạt tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 30° nên khoảng cách cao độ giữa \(B\) và \(A\) là \(\left| {{z_B} - {z_A}} \right| = {z_B} - {z_A} = AB.\sin 30^\circ  = 10\left( {e - 1} \right)\), suy ra \({z_B} = {z_A} + 10\left( {e - 1} \right) = 5 + 10\left( {e - 1} \right) \approx 22.\)

Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai

Gọi các biến cố liên quan đến việc Anna lấy bi từ hộp 1:

 \[{A_1}\]: Anna lấy được 2 bi xanh.

 \[{A_2}\]: Anna lấy được 2 bi đỏ.

 \[{A_3}\]: Anna lấy được 1 bi xanh và 1 bi đỏ (khác màu).

Số cách lấy 2 viên bi từ hộp 1 (tổng 7 viên) là: \[n({\Omega _1}) = C_7^2 = 21\].

a) Số cách Anna lấy 1 xanh và 1 đỏ là: \[C_3^1 \cdot C_4^1 = 12\]nên \[P({A_3}) = \frac{{12}}{{21}} = \frac{4}{7}\].

Kết luận: Phát biểu a) ĐÚNG.

b) Khi Anna lấy được 1 xanh và 1 đỏ cho vào hộp 2, hộp 2 lúc này có:

Xanh: 5 + 1 = 6 viên; Đỏ: 3 + 1 = 4 viên; Tổng: 10 viên.

Số cách Lisa lấy 2 viên từ hộp 2 là \[C_{10}^2 = 45\].

Số cách Lisa lấy 2 viên cùng màu là: \[C_6^2 + C_4^2 = 15 + 6 = 21\].

Xác suất Lisa lấy được 2 viên bi cùng màu trong trường hợp này là: \[P(L|{A_3}) = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}\].

Kết luận: Phát biểu b) SAI.

c)- TH1 (\[{A_1}\]): Anna lấy 2 xanh. Xác suất \[P({A_1}) = \frac{{C_3^2}}{{21}} = \frac{3}{{21}} = \frac{1}{7}\].

Hộp 2 có 7 xanh, 3 đỏ. \[P(L|{A_1}) = \frac{{C_7^2 + C_3^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{21 + 3}}{{45}} = \frac{{24}}{{45}}.\]

-TH2 (\[{A_2}\]): Anna lấy 2 đỏ. Xác suất \[P({A_2}) = \frac{{C_4^2}}{{21}} = \frac{6}{{21}} = \frac{2}{7}\].

Hộp 2 có 5 xanh, 5 đỏ. \[P(L|{A_2}) = \frac{{C_5^2 + C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10 + 10}}{{45}} = \frac{{20}}{{45}}.\]

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho biến cố L (Lisa lấy 2 bi cùng màu):

\[\begin{array}{l}P(L) = P({A_1}) \cdot P(L|{A_1}) + P({A_2}) \cdot P(L|{A_2}) + P({A_3}) \cdot P(L|{A_3})\\P(L) = \frac{1}{7} \cdot \frac{{24}}{{45}} + \frac{2}{7} \cdot \frac{{20}}{{45}} + \frac{4}{7} \cdot \frac{{21}}{{45}} = \frac{{24 + 40 + 84}}{{315}} = \frac{{148}}{{315}} \approx 46,98\% \end{array}\]

Kết luận: Phát biểu c) SAI.

d) Xác suất Anna lấy 2 bi khác màu khi biết Lisa lấy được 2 bi cùng màu

\[\begin{array}{l}P({A_3}|L) = \frac{{P({A_3} \cap L)}}{{P(L)}} = \frac{{P({A_3}) \cdot P(L|{A_3})}}{{P(L)}}\\P({A_3}|L) = \frac{{\frac{4}{7} \cdot \frac{{21}}{{45}}}}{{\frac{{148}}{{315}}}} = \frac{{\frac{{84}}{{315}}}}{{\frac{{148}}{{315}}}} = \frac{{84}}{{148}} = \frac{{21}}{{37}}\end{array}\]

Kết luận: Phát biểu d) SAI.