Trên một trục tọa độ \(Ox\), hai chất điểm đồng thời xuất phát từ gốc tọa độ \(O\) tại thời điểm \(t = 0\) và chuyển động cùng chiều dương. Chất điểm thứ nhất chuyển động với vận tốc biến thiên theo quy luật \({v_A}\left( t \right) = 4t - {t^2}\)(m/s) còn chất điểm thứ hai chuyển động nhanh dần đều với gia tốc không đổi là \(a = 2\)(m/s²)

Xét mệnh đề a)

\({v_B}\left( t \right) = \int {2{\rm{d}}t = 2t + {C_1}} \) mà \({v_B}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0\) suy ra \({v_B}\left( t \right) = 2t\)(m/s) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Chất điểm A: \({x_A}\left( t \right) = \int {\left( {4t - {t^2}} \right){\rm{d}}t = 2{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3} + {C_2}} \) mà tại thời điểm \(t = 0\) thì \({x_A} = 0 \Rightarrow \)\({C_2} = 0\)

Khi đó \({x_A}\left( t \right) = 2{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}\)

Chất điểm B: \({x_B}\left( t \right) = \int {2t{\rm{d}}t = {t^2} + {C_3}} \) mà tại thời điểm \(t = 0\) thì \({x_B} = 0 \Rightarrow \)\({C_3} = 0\)

Khi đó \({x_B}\left( t \right) = {t^2}\)

Hai chất điểm gặp nhau thì \({x_A}\left( t \right) = {x_B}\left( t \right) \Leftrightarrow \)\(2{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3} = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - \frac{{{t^3}}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 3\end{array} \right.\)

Vậy thời điểm hai chất điểm gặp nhau kể từ khi xuất phát là \(t = 3\) mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Khoảng cách giữa hai chất điểm trước khi gặp nhau là: \(d\left( t \right) = \left| {{x_A}\left( t \right) - {x_B}\left( t \right)} \right| = \left| {{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right|\)

Xét hàm số \(d\left( t \right) = {t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,3} \right]\) ta có \(d'\left( t \right) = 2t - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\)

Thay các giá trị: \(d\left( 0 \right) = 0;\,d\left( 2 \right) = \frac{4}{3}\) và \(d\left( 3 \right) = 0\) với \({d_{\max }} = \frac{4}{3}\) mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Tại thời điểm hai chất điểm gặp nhau là \(t = 3\), thay vào phương trình vận tốc

\({v_A}\left( 3 \right) = 4.3 - {3^2} = 3\)

\({v_B}\left( 3 \right) = 2.3 = 6\)

Ta thấy \({v_A}\left( 3 \right) < {v_B}\left( 3 \right)\) nên vận tốc của chất điểm thứ nhất nhỏ hơn vận tốc của chất điểm thứ hai

Vậy mệnh đề d) sai