Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)với đơn vị trên mỗi trục là dm, mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\). Quả bóng nằm yên trên sàn nhà. Người ta nhìn thấy một tấm ván ngã xuống đè lên quả bóng, phần giao của tấm ván và sàn nhà là đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 1 - 3t\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là hai tiếp điểm của tấm ván, sàn nhà với quả bóng và \(I\) là tâm quả bóng

Xét mệnh đề a)

Đạo hàm của hàm số là: \(f'\left( x \right) = 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x\) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(f'\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x < 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) < 0\)

Xét trên khoảng \(x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có \[x + \frac{\pi }{3} \in \left( {\frac{\pi }{3};\,\,\frac{{5\pi }}{6}} \right)\] suy ra \(0 \le x \le \frac{\pi }{2}\) mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Xét trên khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) thì phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{6}\\x = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\). Đây là hai nghiệm đơn, suy ra hàm số có hai điểm cực trị nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Xét trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) thì hàm số chỉ có một điểm cực trị là \(x = \frac{\pi }{2}\)

Với \(x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1\)

Với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - \sqrt 3 \)

Với \(x = \pi  \Rightarrow f\left( \pi  \right) = \pi  - 1\)

So sánh các giá trị thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) bằng \(\pi  - 1\)

Vậy mệnh đề d) sai

Gọi \(K\) là biến cố “Kinh tế phát triển”; \(S\) là biến cố “Kinh tế suy thoái”; \(B\) là biến cố “Đầu tư bất động sản sinh lời”; \(V\) là biến cố “Đầu tư vàng sinh lời”

Theo đề bài, ta có: \(P\left( K \right) = 0,6\) và \(P\left( S \right) = 0,4\)

Khi kinh tế phát triển: \(P\left( {B|K} \right) = 0,8\) và \(P\left( {V|K} \right) = 0,3\)

Khi kinh tế suy thoái: \(P\left( {B|S} \right) = 0,1\) và \(P\left( {V|S} \right) = 0,7\)

Xác suất BĐS sinh lời là: \(P\left( B \right) = P\left( {B|K} \right).P\left( K \right) + P\left( {B|S} \right).P\left( S \right) = 0,8.0,6 + 0,1.0,4 = 0,52\)

Xác suất vàng sinh lời là: \(P\left( V \right) = P\left( {V|K} \right).P\left( K \right) + P\left( {V|S} \right).P\left( S \right) = 0,3.0,6 + 0,7.0,4 = 0,46\)

Xét mệnh đề a)

Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,52 = 0,48\) và \(P\left( {\overline B |S} \right) = 1 - P\left( {B|S} \right) = 1 - 0,1 = 0,9\)

Áp dụng công thức Bayes:\(P\left( {S|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline B |S} \right).P\left( S \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,9.0,4}}{{0,48}} = 0,75 > 0,4\) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Gọi \(L\) là biến cố “Nhà đầu tư sinh lời”. Do chọn ngẫu nhiên một trong hai kênh để đầu tư nên xác xuất mỗi kênh là \(0,5\)

Khi đó: \(P\left( L \right) = 0,5.P\left( B \right) + 0,5.P\left( V \right) = 0,5.0,52 + 0,5.0,46 = 0,49 < 0,5\)nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Ta có: \(P\left( {L|K} \right) = 0,5.P\left( {B|K} \right) + 0,5.P\left( {V|K} \right) = 0,5.0,8 + 0,5.0,3 = 0,55\)

Xét mệnh đề d)

Gọi \(C\) là biến cố “Có lợi nhuận cả hai kênh”. Do giả định độc lập trong cùng điều kiện kinh tế nên:

Khi kinh tế phát triển: \(P\left( {C|K} \right) = P\left( {B|K} \right).P\left( {V|K} \right) = 0,8.0,3 = 0,24\)

Khi kinh tế suy thoái: \(P\left( {C|S} \right) = P\left( {B|S} \right).P\left( {V|S} \right) = 0,1.0,7 = 0,07\)

Suy ra: \(P\left( {K|C} \right) = \frac{{P\left( {C|K} \right).P\left( K \right)}}{{P\left( {C|K} \right).P\left( K \right) + P\left( {C|S} \right).P\left( S \right)}} = \frac{{0,24.0,6}}{{0,24.0,6 + 0,07.0,4}} = \frac{{36}}{{43}} \approx 0,837 \ne 1\)

Kết quả cho thấy khả năng kinh tế phát triển rất cao, nhưng vẫn có xác suất nhỏ (khoảng 16,3%) là kinh tế đang suy thoái mà nhà đầu tư “may mắn” trúng cả hai. Do đó, dùng từ “chắc chắn” là sai nên mệnh đề d) sai