Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị mét), sàn nhà được xem là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và bức tường là mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Một thanh cứng \(AB\) được đặt sao cho đầu \(A\left( {4;\,0;\,2} \right)\) tựa vào bức tường và đầu \(B\left( {2;\,6;\,0} \right)\) tựa vào sàn nhà. Khi đầu \(B\) bắt đẩu dịch chuyển theo hướng của vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1,0,0} \right)\) với tốc độ không đổi \({v_B} = 1\)(m/s) thì đầu \(A\) cũng bị kéo theo và dịch chuyển trên bức tường sao cho hướng của vectơ vận tốc của đầu \(A\) luôn cùng phương với vectơ \(\overrightarrow v = \left( {1;\,0;\,1} \right)\). Xác định tốc độ của đầu \(A\) theo đơn vị (m/s) tại thời điểm đầu \(B\) đã dịch chuyển được một đoạn đúng bằng \(2,4\) mét kể từ vị trí ban đầu (Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân)

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ :

Phương trình parabol \(DC\)có dạng \({y_{DC}} = a{x^2} + c\)đi qua điểm\(D\left( {1,5;16} \right)\)và\(C\left( {3;13} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1,5} \right)}^2}a + c = 16}\\{{3^2}a + c = 13}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{4}{9}}\\{c = 17}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_{DC}} =  - \frac{4}{9}{x^2} + 17 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {3;12,5} \right)\)và bán kính \(R = 0,5\)

\[{\left( {x - 3} \right)^3} + {\left( {y - 12,5} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x =  - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3\]

Lượng sữa chua còn lại là :

\[V = \pi {.3^2}.12 + \pi \left[ {\int\limits_{12}^{13} {\left( { - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3} \right)} \,dy + \int\limits_{13}^{14} {\left( {\frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)} \right)} \,dy} \right] \approx 385\](ml)

Xét mệnh đề a)

Từ phương trình \(m'\left( t \right) = k.m\left( t \right)\) ta có : \[\frac{{m'\left( t \right)}}{{m\left( t \right)}} = k \Rightarrow \int {\frac{1}{{m\left( t \right)}}dm = \int {kdt \Rightarrow \ln \left| {m\left( t \right)} \right| = kt + C} } \]

Vì \(m\left( t \right) > 0 \Rightarrow m\left( t \right) = {e^{kt + C}}\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Theo đề bài, tại \(t = 8\)ngày thì \(m\left( 8 \right) = 4\)và tại \(t = 16\)ngày thì \(m\left( {16} \right) = 2\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{e^{8k + C}} = 4\,\left( 1 \right)\\{e^{16k + C}} = 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy \(\frac{{\left( 2 \right)}}{{\left( 1 \right)}} \Leftrightarrow \frac{{{e^{16k + C}}}}{{{e^{8k + C}}}} = \frac{2}{4} \Rightarrow {e^{8k}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k =  - \frac{{\ln 2}}{8}\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Thay giá trị \(k =  - \frac{{\ln 2}}{8}\)vào \(\left( 1 \right)\)ta được \[C = 3\ln 2\]nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Với \(k =  - \frac{{\ln 2}}{8}\)và \[C = 3\ln 2\], hàm số khối lượng là : \(m\left( t \right) = {e^{ - \frac{{\ln 2}}{8}t + 3\ln 2}}\)

Tại thời điểm \(t = 24\)ngày: \(m\left( {24} \right) = {e^{ - \frac{{\ln 2}}{8}.24 + 3\ln 2}} = {e^0} = 1\,\left( {mg} \right)\, > 0,8\,\left( {mg} \right)\) nên mệnh đề d) sai