Ống sữa chua uống men sống Vinamilk Probi có dạng là một khối tròn xoay có chiều cao \(16\)cm. Biết rằng phần thân nối giữa ống là nửa đường tròn đường kính \(CB\) và phần phía trên \(CD\) là một phần của parabol như hình minh họa dưới đâyBán kính miệng ống bằng một nửa bán kính đáy trụ

            

Bạn An rất thích loại thức uống này và đã uống một ngụm. Sau khi uống bạn An thấy rằng thể tích phần sữa chua uống còn lại trong ống cách miệng ống \(2\)cm. Hỏi lượng sữa chua còn lại này là bao nhiêu ml và chiều dày của ống là không đáng kể? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

 

Số phần tử không gian mẫu: Trên 2 đường chéo, mỗi đường chéo có 7 điểm

Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là:\(2.C_7^3 = 70\) cách

Trên 4 cạnh, mỗi cạnh có đúng 3 điểm thẳng hàng nên số cách chọn là: \(4.C_3^3 = 4\)(cách)

Trên các đường trung trực, có 2 đường nối trung điểm các cạnh đối diện đi qua tâm, mỗi đường có 3 điểm nên số cách chọn là: \(2.C_3^3 = 2\)(cách)

Trên các đường thẳng nối từ trung điểm cạnh, đi qua một điểm trên đường chéo tới đỉnh đối diện có \(8\) đường thẳng, mỗi đường chứa đúng \(3\) điểm nên có \(8.C_3^3 = 8\) cách chọn

Vậy số phần tử trong không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 70 + 4 + 2 + 8 = 84\)(cách)

Số cách chọn thuận lợi:

Gọi biến cố \(A\): "Ba bóng đèn đó nằm trên các đường chéo của hình vuông".

Vậy số cách chọn \(A\) thuận lợi: \(n\left( A \right) = 2.C_7^3 = 70\) cách

Xác suất để ba bóng đèn đó nằm trên các đường chéo của hình vuông\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{70}}{{84}} \approx 0,83\)

Độ dài thanh \(AB = \sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {6 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt {11} \)(m).

 Vị trí của hai đầu thanh kim loại sau thời gian \(t\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}A'\left( {a;0;b} \right)\\B'\left( {2 - t;6;0} \right)\end{array} \right.\) và \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {a - 4;0;b - 2} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow u  = \left( { - 1,0,0} \right)\) nên \(\frac{{a - 4}}{1} = \frac{{b - 2}}{1} \Leftrightarrow a = b + 2\).

Khi đó \(A'\left( {b + 2;0;b} \right)\) nên \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( { - t - b;6; - b} \right) \Rightarrow {\left( {b + t} \right)^2} + {b^2} = {\left( {2\sqrt {11} } \right)^2}\)(do \(AB\) không đổi)

\[ \Leftrightarrow 2{b^2} + 2t.b + {t^2} - 8 = 0 \Rightarrow b = \frac{{ - t + \sqrt {{t^2} - 2\left( {{t^2} - 8} \right)} }}{2}\] với điều kiện \(b > 0\)

Theo giả thiết, ta có: \(S = AA' = \sqrt {2{{\left( {b - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {\frac{{ - t + \sqrt {{t^2} - 2\left( {{t^2} - 8} \right)} }}{2} - 2} \right)}^2}} \left( * \right)\)

Đạo hàm hai vế của \(\left( * \right)\) theo biến \(t\) và dùng  suy ra \(v\left( {2,4} \right) = 1,2374... \approx 1,24\)(m/s)

Vậy tốc độ của đầu \(A\) lúc này bằng \(1,24\)(m/s)