Ống sữa chua uống men sống Vinamilk Probi có dạng là một khối tròn xoay có chiều cao \(16\)cm. Biết rằng phần thân nối giữa ống là nửa đường tròn đường kính \(CB\) và phần phía trên \(CD\) là một phần của parabol như hình minh họa dưới đâyBán kính miệng ống bằng một nửa bán kính đáy trụ

            

Bạn An rất thích loại thức uống này và đã uống một ngụm. Sau khi uống bạn An thấy rằng thể tích phần sữa chua uống còn lại trong ống cách miệng ống \(2\)cm. Hỏi lượng sữa chua còn lại này là bao nhiêu ml và chiều dày của ống là không đáng kể? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

 

Xét mệnh đề a)

Từ phương trình \(m'\left( t \right) = k.m\left( t \right)\) ta có : \[\frac{{m'\left( t \right)}}{{m\left( t \right)}} = k \Rightarrow \int {\frac{1}{{m\left( t \right)}}dm = \int {kdt \Rightarrow \ln \left| {m\left( t \right)} \right| = kt + C} } \]

Vì \(m\left( t \right) > 0 \Rightarrow m\left( t \right) = {e^{kt + C}}\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Theo đề bài, tại \(t = 8\)ngày thì \(m\left( 8 \right) = 4\)và tại \(t = 16\)ngày thì \(m\left( {16} \right) = 2\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{e^{8k + C}} = 4\,\left( 1 \right)\\{e^{16k + C}} = 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy \(\frac{{\left( 2 \right)}}{{\left( 1 \right)}} \Leftrightarrow \frac{{{e^{16k + C}}}}{{{e^{8k + C}}}} = \frac{2}{4} \Rightarrow {e^{8k}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k =  - \frac{{\ln 2}}{8}\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Thay giá trị \(k =  - \frac{{\ln 2}}{8}\)vào \(\left( 1 \right)\)ta được \[C = 3\ln 2\]nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Với \(k =  - \frac{{\ln 2}}{8}\)và \[C = 3\ln 2\], hàm số khối lượng là : \(m\left( t \right) = {e^{ - \frac{{\ln 2}}{8}t + 3\ln 2}}\)

Tại thời điểm \(t = 24\)ngày: \(m\left( {24} \right) = {e^{ - \frac{{\ln 2}}{8}.24 + 3\ln 2}} = {e^0} = 1\,\left( {mg} \right)\, > 0,8\,\left( {mg} \right)\) nên mệnh đề d) sai

Gọi \(T\) là biến cố một sĩ quan được chọn từ mỗi sư đoàn là cấp tá và \(U\) là biến cố một sĩ quan được chọn từ mỗi sư đoàn là cấp úy
Sư đoàn I (chọn 4 người) nên \(P\left( {T|I} \right) = \frac{{10}}{{40}} = 0,25\) và \(\,P\left( {U|I} \right) = \frac{{30}}{{40}} = 0,75\)
Sư đoàn II (chọn 3 người) nên \(P\left( {T|II} \right) = \frac{{20}}{{40}} = 0,5\) và \(P\left( {U|I} \right) = \frac{{20}}{{40}} = 0,5\)
Sư đoàn III (chọn 3 người) nên \(P\left( {T|III} \right) = \frac{{10}}{{50}} = 0,2\) và \(P\left( {U|III} \right) = \frac{{40}}{{40}} = 0,8\)
Trong khối 10 người được chọn, ta tính trọng số xuất hiện của cấp tá và cấp úy:
Tổng xác suất chọn 1 cấp tá (Khối trưởng): \(P\left( T \right) = 4.0,25 + 3.0,5 + 3.0,2 = 3,1\)
Tổng xác suất chọn 1 cấp uý (Cầm cờ): \(P\left( U \right) = 4.0,75 + 3.0,5 + 3.0,8 = 6,9\)
Gọi các biến cố liên quan đến việc chọn 2 vị trí (khối trưởng và cầm cờ) như sau:
Nhóm biến cố về khối trưởng (Sĩ quan cấp tá)
Biến cố \({A_1}\) là biến cố khối trưởng thuộc sư đoàn I nên \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{4.0,25}}{{3,1}} = \frac{{10}}{{31}}\)
Biến cố \({A_2}\) là biến cố khối trưởng thuộc sư đoàn II nên \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{3.0,5}}{{3,1}} = \frac{{15}}{{31}}\)
Biến cố \({A_3}\)là biến cô khối trưởng thuộc sư đoàn III nên \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{3.0,2}}{{3,1}} = \frac{6}{{31}}\)
Nhóm biến cố về sĩ quan cầm cờ (Sĩ quan cấp úy)
Biến cố \({B_1}\) là biến cố sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn I nên \(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{4.0,75}}{{6,9}} = \frac{{10}}{{23}}\)
Biến cố \({B_2}\) là biến cố sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn II nên \(P\left( {{B_2}} \right) = \frac{{3.0,5}}{{6,9}} = \frac{5}{{23}}\)
Biến cố \({B_3}\) là biến cố sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn III nên \(P\left( {{B_3}} \right) = \frac{{3.0,8}}{{6,9}} = \frac{8}{{23}}\)
Biến cố điều kiện bổ trợ là biến cố \(C\) “Hai sĩ quan được chọn thuộc hai đơn vị khác nhau”
Tính xác suất biến cố \(C\). Trước hết ta tính \(P\left( {\overline C } \right)\)(hai sĩ quan cùng đơn vị)
\(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {{A_1} \cap {B_1}} \right) + P\left( {{A_2} \cap {B_2}} \right) + P\left( {{A_3} \cap {B_3}} \right) = \frac{{10}}{{31}}.\frac{{10}}{{23}} + \frac{{15}}{{31}}.\frac{5}{{23}} + \frac{6}{{31}}.\frac{8}{{23}} = \frac{{223}}{{713}}\)
\( \Rightarrow P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = \frac{{490}}{{713}}\)
Xét mệnh đề a)
Xác suất để chọn một sĩ quan bất kỳ từ sư đoàn III là sỹ quan cấp tá: \(P\left( {T|III} \right) = \frac{{10}}{{50}} = 0,2\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Xác suất khối trưởng sư đoàn II \(\left( {{A_2}} \right)\) và cầm cờ Sư đoàn I \(\left( {{B_1}} \right)\) với điều kiện \(C\)là:
\(P\left( {{A_2} \cap {B_1}|C} \right) = \frac{{P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{B_1}} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{15}}{{31}}.\frac{{10}}{{23}}}}{{\frac{{490}}{{713}}}} = \frac{{150}}{{490}} \approx 0,3\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Xác suất để sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn III là:
\(P\left( {{B_3}|C} \right) = \frac{{P\left( {{B_3} \cap {A_1}} \right) + P\left( {{B_3} \cap {A_2}} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{8}{{23}}.\left( {\frac{{10}}{{31}} + \frac{{15}}{{31}}} \right)}}{{\frac{{490}}{{713}}}} = \frac{{200}}{{490}} \approx 0,4\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Xác suất để khối trưởng là sĩ quan của sư đoàn I là:
\(P\left( {{A_1}|C} \right) = \frac{{P\left( {{A_1} \cap {B_2}} \right) + P\left( {{A_1} \cap {B_3}} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{10}}{{31}}.\left( {\frac{5}{{23}} + \frac{8}{{23}}} \right)}}{{\frac{{490}}{{713}}}} = \frac{{130}}{{490}} \approx 0,3\) nên mệnh đề d) đúng