Trên một biển quảng cáo hình vuông, người ta gắn \(17\) bóng đèn tại các vị trí đặc biệt bao gồm: \(4\) đỉnh, tâm hình vuông và các điểm chia đều các cạnh cũng như các đường chéo. Cấu trúc phân bố điểm đảm bảo rằng trên mỗi đường chéo có đúng \(7\) bóng đèn và trên mỗi cạnh hình vuông có đúng \(3\) bóng đèn. Tại một thời điểm, có ba bóng đèn bất kỳ vụt sáng. Biết rằng ba bóng đèn này không tạo thành một tam giác. Tính xác suất để ba bóng đèn đó nằm trên các đường chéo của hình vuông (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ :

Phương trình parabol \(DC\)có dạng \({y_{DC}} = a{x^2} + c\)đi qua điểm\(D\left( {1,5;16} \right)\)và\(C\left( {3;13} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1,5} \right)}^2}a + c = 16}\\{{3^2}a + c = 13}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{4}{9}}\\{c = 17}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_{DC}} =  - \frac{4}{9}{x^2} + 17 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {3;12,5} \right)\)và bán kính \(R = 0,5\)

\[{\left( {x - 3} \right)^3} + {\left( {y - 12,5} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x =  - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3\]

Lượng sữa chua còn lại là :

\[V = \pi {.3^2}.12 + \pi \left[ {\int\limits_{12}^{13} {\left( { - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3} \right)} \,dy + \int\limits_{13}^{14} {\left( {\frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)} \right)} \,dy} \right] \approx 385\](ml)

Độ dài thanh \(AB = \sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( {6 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt {11} \)(m).

 Vị trí của hai đầu thanh kim loại sau thời gian \(t\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}A'\left( {a;0;b} \right)\\B'\left( {2 - t;6;0} \right)\end{array} \right.\) và \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {a - 4;0;b - 2} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow u  = \left( { - 1,0,0} \right)\) nên \(\frac{{a - 4}}{1} = \frac{{b - 2}}{1} \Leftrightarrow a = b + 2\).

Khi đó \(A'\left( {b + 2;0;b} \right)\) nên \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( { - t - b;6; - b} \right) \Rightarrow {\left( {b + t} \right)^2} + {b^2} = {\left( {2\sqrt {11} } \right)^2}\)(do \(AB\) không đổi)

\[ \Leftrightarrow 2{b^2} + 2t.b + {t^2} - 8 = 0 \Rightarrow b = \frac{{ - t + \sqrt {{t^2} - 2\left( {{t^2} - 8} \right)} }}{2}\] với điều kiện \(b > 0\)

Theo giả thiết, ta có: \(S = AA' = \sqrt {2{{\left( {b - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {\frac{{ - t + \sqrt {{t^2} - 2\left( {{t^2} - 8} \right)} }}{2} - 2} \right)}^2}} \left( * \right)\)

Đạo hàm hai vế của \(\left( * \right)\) theo biến \(t\) và dùng  suy ra \(v\left( {2,4} \right) = 1,2374... \approx 1,24\)(m/s)

Vậy tốc độ của đầu \(A\) lúc này bằng \(1,24\)(m/s)