Trong một thùng có \(9\) thẻ ghi các số tự nhiên từ 1 đến \(9\). Rút ngẫu nhiên cùng lúc hai thẻ. Tính xác suất để tổng hai số ghi trên hai thẻ rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng \(15\).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(O\) và cắt \(\left( C \right):y = \sqrt {196 - {x^2}} \) tại điểm đặc biệt \(M\)

Khi ấy \({k_d} = \tan 30^\circ  \Rightarrow d:y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\)với ta có phương trình hoành độ điểm \(M\) là: \({\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {x^2} = 196\)

Suy ra tọa độ \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right)\) gọi parabol đề cho có phương trình \(\left( P \right):y =  - a{x^2} + c,\left( {a < 0 < c} \right)\)

Do \(M\left( {7\sqrt 3 ;7} \right) \in \left( P \right)\) nên ta có phương trình: \[7 =  - 147a + c \Rightarrow \left( P \right):y =  - a{x^2} + 7 + 147a\left( 1 \right)\]

Gọi \(d'\) là pháp tuyến của \(d\) tại \(M\) thì dễ dàng có được \(d':y =  - x\sqrt 3  + 28\)

Khi đó với \(d'\) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(M\) ta có phương trình tiếp xúc như sau:

\[\left\{ \begin{array}{l} - a{x^2} + c =  - \sqrt 3 x + 28\\ - 2ax =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\]. Suy ra:

Tiếp đến gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(x = m\) sao cho \(\widehat {\left( {\Delta ;Oy} \right)} = 60^\circ \).

 Suy ra \(\Delta :y =  - \frac{m}{7}\left( {x - m} \right) - \frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2} \Rightarrow \left( \Delta  \right) \cap Oy = E\left( {0;\frac{{{m^2}}}{{14}} + \frac{{35}}{2}} \right)\)

Hệ số góc: \({k_\Delta } = \tan \left( {\overrightarrow {OE} ;\overrightarrow {O{x^ + }} } \right) = \tan 150^\circ \)

Suy ra: \[ - \frac{m}{7} = \tan 150^\circ  \Rightarrow m = \frac{7}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow OE = \frac{{56}}{3}\left( {cm} \right) \Rightarrow {S_{lucgiac}} = 6.\frac{{O{E^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }}\](cm2)

Gọi \({S_0}\) là diện tích hình giới hạn bởi cong \(\left( P \right)\) và \(\left( C \right)\), vậy diện tích cần tìm là:

\[S = {S_{lucigac}} - \left( {3{S_0} + {S_{tron}}} \right) = \frac{{1568}}{{\sqrt 3 }} - \left( {3\int\limits_{ - 7\sqrt 3 }^{7\sqrt 3 } {\left( { - \frac{1}{{14}}{x^2} + \frac{{35}}{2}} \right) - \sqrt {196 - {x^2}} {\rm{d}}x}  + \pi {{14}^2}} \right) \approx 141\](cm²)