Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(8\)m và chiều cao là \(3\)m. Cửa vào lều là hình tháng \(EFGH\) trong đó \(AE = FB\) và \(EF = 4\)m. Gọi \(G,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(SF\) và \(SE\). Xét trong không gian \(Oxyz\) có \(O\) trùng với tâm hình vuông, \(Ox\) đi qua trung điểm của \(AB\), \(Oy\) đi qua trung điểm của \(BC\) và \(Oz\) đi qua \(S\) như hình vẽ. Mỗi đơn vị trên hệ trục tọa độ dài \(1\)m, có một nguồn sáng đặt tại điểm \(I\left( {0;0;\,a} \right)\) với \(a \in \left( {1,5;\,3} \right)\). Ánh sáng chiếu ra ngoài cửa thành một vùng được chiếu sáng \(EFHG'H'\)

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ: \(S\left( {0;0;3} \right)\); \(E\left( {4; - 2;0} \right)\); \(F\left( {4;2;0} \right)\) ; \(G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right)\) ; \(H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right)\)

Xét mệnh đề a)

Ta có: \(\overrightarrow {EF}  = \left( {0;4;0} \right)\) và \(\overrightarrow {EH}  = \left( { - 2; - 3;\frac{3}{2}} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( {EFGH} \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EH} } \right] = \left( {6;0;8} \right) = 2.\left( {3;0;4} \right)\)

Phương trình mặt phẳng là \(\left( {EFGH} \right):\,3x + 4z - 12 = 0\)nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Xét \[\Delta SEF\] có \(H,G\)lần lượt là trung điểm của \(SE\) và \(SF \Rightarrow HG = \frac{1}{2}EF = 2\)

Gọi \(K,L\) là hình chiếu của \(G\)và \(H\)trên \(EF \Rightarrow GK,HL\)là chiều cao của hình thang cân \(EFGH\)

Suy ra \(GF = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {29} }}{2}\). Gọi \(KF = EL = x \Leftrightarrow 2x + LK = 4 \Leftrightarrow 2x + 2 = 4 \Rightarrow x = 1\).

Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta GKF \Rightarrow GK = \sqrt {G{F^2} - K{F^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {29} }}{2}} \right)}^2} - {1^2}}  = \frac{5}{2}\)

Vậy \({S_{EFGH}} = \frac{{EF + HG}}{2}.GK = \frac{{4 + 2}}{2}.\frac{5}{2} = \frac{{15}}{2} = 7,5\)(m2) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có: \(I\left( {0;0;2} \right)\) và \(H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH}  = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y =  - t}\\{z = 2 - 0,5t}\end{array}} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Tương tự \(I\left( {0;0;2} \right)\) và \(G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IG}  = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right)\) nên PTĐT \(IG:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2h}\\{y = h}\\{z = 2 - 0,5h}\end{array}} \right.\,\,\left( {h \in \mathbb{R}} \right)\)

Theo đề bài \(G' \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow z = 0 \Leftrightarrow 2 - 0,5t = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow G' = \left( {8;4;0} \right)\)

Suy ra \(G'H' = \sqrt {{8^2}}  = 8\)và \(FG' = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5 \). Gọi\(M,N\) lần lượt là hình chiếu của\(F,E\) trên \(G'H'\) thì \(FM,EN\)là chiều cao của hình than cân\(EFG'H'\)

Gọi \(MG' = NH' = y \Leftrightarrow 2y + 4 = 8 \Rightarrow y = 2\)

Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta FMG' \Rightarrow FM = \sqrt {F{{G'}^2} - M{{G'}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}}  = 4\)

Vậy \({S_{EFG'H'}} = \frac{{4 + 8}}{2}.4 = 24\)(m2) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Tấm thảm là hình chữ nhật có \(4 \times 8\)(m) và đặt tấm thảm sao cho trùng khít với \(EF\), tức là vùng phủ đi từ \(x = 4\) đến \(x = 12\). Jgi đí \(I\left( {0;0;a} \right)\)và \(G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IG}  = \left( {2;1;\frac{3}{2} - a} \right)\)

Phương trình đường thẳng \[IG:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2u}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{y = u}\\{z = a + \left( {1,5 - a} \right)u}\end{array}}\end{array}\,\,\left( {u \in \mathbb{R}} \right)} \right.\]

Theo đề bài \(G' \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow z = 0 \Leftrightarrow a + \left( {1,5 - a} \right)u = 0 \Rightarrow u = \frac{a}{{a - 1,5}}\)

Mặt khác: \(x = 2u = \frac{{2a}}{{a - 1,5}} \ge 12 \Leftrightarrow 2a \ge 12a - 18 \Rightarrow a \le 1,8\)(m)

Vậy nguồn sáng tối đa cao \(1,8\)(m) nên mệnh đề d) đúng