Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với đơn vị trên mỗi trục là centimet, xét mô hình tư thế Yoga “Downward-Facing Dog” của bạn Trâm. Giả sử mặt sàn trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), chân bạn Trâm đặt tại gốc tọa độ, tay đặt tại điểm \(T\) thuộc tia \(Ox\) và đỉnh hông là điểm \(H\) nằm trong mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]. Biết rằng chiều dài chân của bạn Trâm là 75cm và phần than trên \(HT = 100\)cm. Trong quá trình tập luyện, chiều dài chân và phần thân trên được xem như không đổi. Ở tư thế ban đầu, khoảng cách giữa hai tay và hai chân của bạn là \(125\)cm, góc tạo bởi thân trên và chân tại khớp hông là \(90^\circ \). Các lực tác dụng lên khớp hông được mô hình hóa bởi hai vectơ lực nén là \({F_1}\) dọc theo chân (cùng phương \(\overrightarrow {HO} \)) và \({F_2}\) dọc theo thân trên (cùng phương \(\overrightarrow {HT}

Sàn nhà là mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\), chân đặt tại gốc tọa độ\(O\left( {0;0;0} \right)\).
Tay đặt tại\(T \in Ox \Rightarrow T\left( {{x_T};0;0} \right)\left( {{x_T} > 0} \right)\) và đỉnh hông \[H \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow H\left( {x;0;z} \right)\left( {z > 0} \right)\]
Độ dài không đổi: \(OH = 75\)cm,\(HT = 100\)cm.
Xét mệnh đề a)
Ở tư thế ban đầu, ta có \(OT = 125\)cm và \(\widehat {OHT} = 90^\circ \).
Xét tam giác\(OHT\) có \(O{H^2} + H{T^2} = {75^2} + {100^2} = 15625\) mà \(O{T^2} = {125^2} = 15625\).
Vậy \(O{H^2} + H{T^2} = O{T^2}\) nên tam giác \(OHT\)vuông tại \(H\) là hoàn toàn chính xác.
Gọi \(K\)là hình chiếu vuông góc của \(H\)xuống trục\(Ox\) nên \[H\left( {OK;0;HK} \right)\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OHT\) với đường cao\(HK\):
\(O{H^2} = OK.OT \Rightarrow {75^2} = OK.125 \Rightarrow OK = 45\)cm.
\(HK.OT = OH.HT \Rightarrow HK.125 = 75.100 \Rightarrow HK = 60\)cm.
Suy ra tọa độ điểm \(H\left( {45;0;60} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Trong quá trình tập luyện, chiều dài chân \(OH = 75\)cm được xem như không đổi.
Điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\)là điểm cố định. Đỉnh hông \(H\)luôn nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)và cách \(O\) một khoảng không đổi \(R = 75\)cm.
Ngoài ra, \(H\) luôn ở phía trên mặt sàn nên tung độ\(z > 0\).
Do đó, quỹ tích của \(H\) là một cung tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 75\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)nên mệnh đề b) đúng.
Xét mệnh đề c)
Cách 1: Hình học
Phần thân trên là đoạn thẳng \(HT\) và mặt sàn là mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)
Góc tạo bởi \(HT\)và \(\left( {Oxy} \right)\) chính là góc giữa \(HT\)và hình chiếu của nó trên \(\left( {Oxy} \right)\)
Từ câu a) ta có \(H\left( {45;0;60} \right)\) và \(T\left( {125;0;0} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của \(H\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là điểm \(K\left( {45;0;0} \right)\) nằm trên trục \(Ox\).
Hình chiếu của đoạn \(HT\)xuống mặt sàn chính là đoạn \(KT\) nên \(\alpha = \widehat {HTK}\).
Xét tam giác vuông \(HKT\) vuông tại \(K\) có \(HK = 60\)cm và \(KT = OT - OK = 125 - 45 = 80\)cm
Suy ra: \(\tan \alpha = \frac{{HK}}{{KT}} = \frac{{60}}{{80}} = \frac{3}{4}\) nên mệnh đề c) đúng
Cách 2: Vectơ
Mặt sàn là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)có phương trình \(z = 0\).
Mặt phẳng này nhận vectơ đơn vị của trục \(Oz\) làm vectơ pháp tuyến:\(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Từ câu a) ta có \(H\left( {45;0;60} \right)\)và \(T\left( {125;0;0} \right)\)
Đường thẳng biểu diễn “phần thân trên” đi qua hai điểm \(H\) và \(T\), nhận \(\overrightarrow {HT} \)làm vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {HT} = \left( {45 - 125;0 - 0;60 - 0} \right) = \left( { - 80;0;60} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi phần thân trên (đường thẳng\(HT\)) và mặt sàn (mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\)). Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {HT} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {HT} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 80} \right).0 + 0.0 + 60.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 80} \right)}^2} + {0^2} + {{60}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{4}{5} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{3}{4}\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi vị trí mới của hông và tay lần lượt là \(H'\left( {x;0;z} \right)\)và\(T'\left( {t;0;0} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {H'O} = \left( { - x;0; - z} \right)\) và chiều dài \(H'O = 75\) mà \(\overrightarrow {H'T'} = \left( {t - x;0; - z} \right)\) và chiều dài \(H'T' = 100\)
Lực nén \({F_1}\)cùng phương\(\overrightarrow {H'O} \):\(\overrightarrow {{F_1}} = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \frac{{\overrightarrow {H'O} }}{{\left| {\overrightarrow {H'O} } \right|}} = 300.\frac{{\left( { - x;0; - z} \right)}}{{75}} = \left( { - 4x;0; - 4z} \right)\)
Lực nén \({F_2}\)cùng phương\(\overrightarrow {H'T'} \):\(\overrightarrow {{F_2}} = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\frac{{\overrightarrow {H'T'} }}{{|\overrightarrow {H'T'} |}} = 200.\frac{{\left( {t - x;0; - z} \right)}}{{100}} = \left( {2t - 2x;0; - 2z} \right)\)
Hợp lực \(\vec F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \left( { - 6x + 2t;0; - 6z} \right)\).
Để hợp lực \(\vec F\)có phương thẳng đứng (vuông góc với sàn\(\left( {Oxy} \right)\)), thì thành phần theo trục \(Ox\)phải bằng 0:\( - 6x + 2t = 0 \Leftrightarrow t = 3x\)
Ta có hệ phương trình về độ dài: \({x^2} + {z^2} = {75^2} = 5625\)(vì \(OH' = 75\)) \(\left( 1 \right)\)
\({\left( {t - x} \right)^2} + {z^2} = {100^2} = 10000\) (vì\(H'T' = 100\)) \(\left( 2 \right)\)
Thay \(t = 3x\) vào phương trình\(\left( 2 \right)\):\({\left( {3x - x} \right)^2} + {z^2} = 10000 \Rightarrow 4{x^2} + {z^2} = 10000\)
Lấy \(\left( 2 \right)\) trừ \(\left( 1 \right)\):\(3{x^2} = 10000 - 5625 = 4375 \Rightarrow {x^2} = \frac{{4375}}{3} \Rightarrow x = \frac{{25\sqrt {21} }}{3}\)
Tọa độ mới của tay là:\(t = 3x = 25\sqrt {21} \approx 114,56\)cm nên độ dời\( = 125 - 114,56 = 10,44\)cm.
Vì \(114,56 < 125\)nên Trâm phải dịch chuyển tay lại gần phía chân thêm khoảng \(10,4\)cm nên mệnh đề d) sai