Một khách hàng cần đặt một thợ mộc một số bàn học và một số ghế. Để làm một cái bàn học người thợ mất \(6\) giờ và mất \(4\) giờ để làm một cái ghế. Người thợ mộc có tối đa \(48\) giờ/tuần để làm bàn và ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế nhiều nhất là hơn số bàn \(3\) cái. Số lượng bàn và ghế tối đa người thợ mộc có thể làm được trong một tuần là \(10\) cái. Biết một cái bàn học bán ra lãi \(240\) nghìn đồng, mỗi cái ghế bán ra lãi \(160\) nghìn đồng. Khi đó số tiền lãi lớn nhất mà xưởng thu được trong một tuần là bao nhiêu nghìn đồng?

Trước hết ta gọi \(p\) là giá bán sản phẩm (triệu đồng).
Lợi nhuận mỗi năm của công ty là \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xp\left( x \right) - \left( {0,5{x^2} + 2x + 6} \right)\)
Suy ra \(P\left( x \right) = - 0,5{x^2} + \left( {p - 2} \right)x - 6\) là tam thức bậc 2 max tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2 - p}}{{2\left( { - 0,5} \right)}} = p - 2\) và lợi nhuận lớn nhất là \(\frac{{{{\left( {p - 2} \right)}^2}}}{2} - 6\) (tỷ đồng).
Năm 1 giá bán sản phẩm là \(p = 10\) triệu đồng
Năm 2 giá bán sản phẩm là \(p = 10 + 1 = 11\) triệu đồng 🡪 … 🡪 năm \(n\) giá bán sản phẩm là \(p = 10 + \left( {n - 1} \right) = n + 9\) triệu đồng
Vậy công ty hoàn vốn khi lợi nhuận = chi phí \( \Leftrightarrow \sum\limits_{p = 10}^{n + 9} {\left[ {\frac{{{{\left( {p - 2} \right)}^2}}}{2} - 6} \right]} = 225 \Rightarrow n = 5\)

Từ giả thiết của đề bài: \(\frac{{{x_M} - {x_N}}}{4} = \frac{{{y_M} - {y_N}}}{2} = \frac{{{z_M} - {z_N}}}{1} = k\)\( \Rightarrow \overrightarrow {NM} = \left( {4k;2k;k} \right)\).
Vì \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( Q \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + 2{y_M} - 2{z_M} - 7 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_N} + 2{y_N} - 2{z_N} + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\) ta được: \(\left( {{x_M} - {x_N}} \right) + 2\left( {{y_M} - {y_N}} \right) - 2\left( {{z_M} - {z_N}} \right) - 12 = 0\)
Thay tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) ta có: \(4k + 2\left( {2k} \right) - 2\left( k \right) - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow 6k = 12 \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy \(\overrightarrow {NM} = \left( {8;4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 8;\, - 4;\, - 2} \right)\)nên \(MN = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {84} = 2\sqrt {21} \).
Tổng quãng đường electron cần đi là: \(S = AM + MN + NB\).
Vì \(MN = 2\sqrt {21} \) là một hằng số không đổi nên để quãng đường \(S\) ngắn nhất ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(AM + NB\).
Chọn một điểm \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) thì \(A' = A + \overrightarrow {MN} = \left( {4 - 8;3 - 4;0 - 2} \right) \Rightarrow A' = \left( { - 4;\, - 1;\, - 2} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) nên tứ giác \(AA'NM\)là một hình bình hành.
Tính chất hình bình hành cho ta độ dài \(AM = A'N\).
Thay tọa độ \(A'\) và \(B\) vào mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì ta thấy hai điểm này nằm khác phía nhau
Lúc này, tổng cần tìm cực trị trở thành: \(AM + NB = A'N + NB \ge A'B = \sqrt {74} \).
Vậy tổng quãng đường ngắn nhất của electron là:
\({S_{\min }} = A'B + MN = \sqrt {74} + 2\sqrt {21} = 17,767 \approx 17,8{\rm{(m)}}\)