Trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 5\) (giờ), một thiết bị A được sạc pin với tốc độ nạp điện là \(v\left( t \right) = 2{t^3} - 16{t^2} + 32t\) (đơn vị: mAh/giờ). Cùng khoảng thời gian đó, thiết bị B cũng được sạc với tốc độ nạp là \(u\left( t \right)\) (mAh/giờ). Giả sử cả hai thiết bị đều cạn pin (\(0\)mAh) tại thời điểm \(t = 0\)

Đồ thị tốc độ nạp \(y = v\left( t \right)\) là đường màu đỏ và \(y = u\left( t \right)\) là đường màu xanh cắt nhau tại điểm có hoành độ \(t = k\) và \(t = 3,8\). Trong khoảng thời gian \(0 \le t \le k\) giờ, thiết bị B được sạc với tốc độ không đổi là 18 mAh/giờ

Hàm tốc độ nạp
Thiết bị A: \(v\left( t \right) = 2{t^3} - 16{t^2} + 32t\)
Thiết bị B: \(u\left( t \right)\) đường màu xanh \(u\left( t \right) = 18\) khi \(0 < t < k\) và \(u\left( t \right)\) là đường cong khi \(k < t \le 5\)
Xét mệnh đề a)
Lượng điện nạp vào của thiết bị A là:
\[{Q_A} = \int\limits_0^4 {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^4 {\left( {2{t^3} - 16{t^2} + 32t} \right)} } {\rm{d}}t = \frac{{128}}{3} \approx 42,7\]mAh nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Tốc độ tăng của tốc độ nạp chính là đạo hàm của hàm vận tốc sạc:
\(v'\left( t \right) = 6{t^2} - 32t + 32 \Rightarrow v'\left( 3 \right) = - 10\)
Vì \( - 10 < - 4 \Leftrightarrow v'\left( 3 \right) < u'\left( 3 \right)\) nên tốc độ của thiết bị A chậm hơn B (về mặt đại số) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Lượng điện chênh lệch là:
\[\Delta Q = {Q_B}\left( k \right) - {Q_A}\left( k \right) = \int\limits_0^k {\left[ {u\left( t \right) - v\left( t \right)} \right]} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^k {\left( { - 2{t^3} + 16{t^2} - 32t + 18} \right)} {\rm{d}}t\]nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
\(v\left( k \right) = u\left( k \right) = 18 \Leftrightarrow v\left( k \right) = 2{t^3} - 16{t^2} + 32t = 18 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 1\left( n \right)}\\{k = 1,69...\left( l \right)}\\{k = 5,30...\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
\[S = \int\limits_k^{3,8} {\left[ {v\left( t \right) - u\left( t \right)} \right]} \,{\rm{d}}t = \int\limits_k^{3,8} {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t - \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = 12,5 \Rightarrow \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_k^{3,8} {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t - 12,5\]
\[{Q_B}\left( {3,8} \right) = \int\limits_0^k {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t + \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)\,} {\rm{d}}t = \int\limits_0^k {18} \,{\rm{d}}t + \int\limits_k^{3,8} {u\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^k {18} \,{\rm{d}}t + \left[ {\int\limits_k^{3,8} {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t - 12,5} \right]\]
Với \(k = 1\)thì \({Q_B}\left( {3,8} \right) = \int\limits_0^1 {18} {\rm{d}}t + \left[ {\int\limits_1^{3,8} {v\left( t \right)} {\rm{d}}t - 12,5} \right] \approx 37\)mAh nên mệnh đề d) sai