Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh \(AB = a,BC = 2a\). Hai mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) và ( \(SAD)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và cạnh \(SA = a\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AA'}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right)} \right.\)
Suy ra \(\left[ {A',BC,A} \right] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \) và đặt \(AB = BC = CA = x\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x}\\{A'M = \frac{{2SA'.BC}}{{BC}} = \frac{{64}}{x}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {\rm{cos}}30^\circ = \frac{{AM}}{{A'M}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x:\frac{{64}}{x} = \frac{{\sqrt 3 {x^2}}}{{128}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = 8\)
Vậy \(AA' = AM.{\rm{tan}}30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 4 \Rightarrow d = 4\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\) bằng \(4\).

Tại thời điểm\(\left( {t = 0} \right)\)vận tốc của tàu là \(35\)m/s: \(v\left( 0 \right) = - a.{\left( 0 \right)^2} + b = 35 \Rightarrow b = 35\)
Vậy hàm vận tốc có dạng:\(v\left( t \right) = - a{t^2} + 35\)
Gọi \(T\)(giây) là thời gian kể từ lúc hãm phanh đến khi mũi tàu chạm đầu cầu
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
Vận tốc tại \(T\) là: \(v\left( T \right) = - a{T^2} + 35 = 10 \Rightarrow a{T^2} = 25 \Rightarrow a = \frac{{25}}{{{T^2}}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Quãng đường đi được sau thời gian \(T:\)
\(S\left( T \right) = \int\limits_0^T {\left( { - a{t^2} + 35} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( { - \frac{1}{3}a{t^3} + 35t} \right)} \right|_0^T = - \frac{1}{3}a{t^3} + 35T = 400\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)ta được: \( - \frac{1}{3} \cdot \frac{{25}}{{{T^2}}} \cdot {T^3} + 35T = 400 \Rightarrow T = 15\) suy ra \(a = \frac{{25}}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{9}\)
Vậy hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = - \frac{1}{9}{t^2} + 35\)
Gọi \({t_1}\) là khoảng thời gian cần tìm, ta có phương trình quãng đường:
\[S\left( {{t_1}} \right) = \int\limits_0^{{t_1}} {\left( { - \frac{1}{9}{t^2} + 35} \right){\rm{d}}t} = 288 \Leftrightarrow \left. {\left( { - \frac{1}{{27}}{t^3} + 35t} \right)} \right|_0^{{t_1}} = 288 \Leftrightarrow t_1^3 - 945{t_1} + 7776 = 0 \Rightarrow {t_1} = 9\]
Gia tốc của đoàn tàu là:\(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {\left( { - \frac{1}{9}{t^2} + 35} \right)^\prime } = - \frac{2}{9}t\)
Tại thời điểm \({t_1} = 9\) gia tốc thực tế là: \[a\left( 9 \right) = - \frac{2}{9} \cdot 9 = - 2\](m/\[{{\rm{s}}^2}\])
Độ lớn gia tốc lúc này là:\(\left| {a\left( 9 \right)} \right| = 2\) (m/\[{{\rm{s}}^2}\])