Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 4}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Một hình chữ nhật có hai đỉnh là \(A\); \(B\) nằm trên một nhánh của \(\left( C \right)\) và hai đỉnh \(C;\,D\) nằm trên nhánh còn lại. Biết rằng hình chữ nhật này có diện tích bằng \(20\). Hãy xác định chu vi của hình chữ nhật (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Đồ thi hàm số có tiệm cận đứng \(x = - 4\)và tiệm cận ngang \(y = 1\)nên tâm đối xứng \(I\left( { - 4;1} \right)\)
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ\(Oxy\) về tâm\(I\)bằng cách đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X = x + 4}\\{Y = y - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = X - 4}\\{y = Y + 1}\end{array}} \right.\)
Thay vào hàm số ban đầu: \(Y + 1 = \frac{{\left( {X - 4} \right) - 2}}{X} = \Leftrightarrow Y = - \frac{6}{X}\)
Đồ thị \(\left( C \right)\) lúc này trở thành đường Hyperbol cơ bản \(\left( H \right):Y = - \frac{6}{X}\) trong hệ tọa độ mới\(IXY\).
Vì các đỉnh đối xứng nhau qua tâm \(I\left( {0;0} \right)\) trong hệ tọa độ\(IXY\), ta gọi tọa độ các đỉnh là:
\(A\left( { - a;\frac{6}{a}} \right)\)và \(B\left( { - b;\frac{6}{b}} \right)\)thì \(C\left( {a; - \frac{6}{a}} \right)\)và \(D\left( {b; - \frac{6}{b}} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - b - \left( { - a} \right);\frac{6}{b} - \frac{6}{a}} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {1;\frac{6}{{ab}}} \right)\); \(\overrightarrow {BC} = \left( {a - \left( { - b} \right); - \frac{6}{a} - \frac{6}{b}} \right) = - \left( {a + b} \right)\left( {1; - \frac{6}{{ab}}} \right)\)
Vì \(ABCD\)là hình chữ nhật nên \(AB \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\)
\( \Leftrightarrow - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left[ {1.1 + \left( { - \frac{6}{{ab}}} \right)\left( {\frac{6}{{ab}}} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left[ {1 - \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} \right] = 0\)
Vì \(a \ne b\), suy ra \(1 - \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}} = 0 \Rightarrow {a^2}{b^2} = 36\left( 1 \right)\)
Độ dài các cạnh: \(AB = \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6\left( {a - b} \right)}}{{ab}}} \right)}^2}} = \left| {a - b} \right|\sqrt {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} = \sqrt 2 \left( {a - b} \right)\)
\(BC = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{6\left( {a + b} \right)}}{{ab}}} \right)}^2}} = \left| {a + b} \right|\sqrt {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} = \sqrt 2 \left( {a + b} \right)\)
Theo đề bài, ta có \(AB.BC = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 20 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 10\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - {b^2} = 10}\\{{a^2}{b^2} = 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 5 + \sqrt {61} }\\{{b^2} = \sqrt {61} - 5}\end{array}} \right.\)
Chu vi \[P = 2\left( {AB + BC} \right) = 2\left[ {\sqrt 2 \left( {a - b} \right) + \sqrt 2 \left( {a + b} \right)} \right] = 4\sqrt 2 a\,\,\,\left( * \right)\]
Thay \(a = \sqrt {5 + \sqrt {61} } \)vào \(\left( * \right) \Rightarrow P = 4\sqrt {2\left( {5 + \sqrt {61} } \right)} = 4\sqrt {10 + 2\sqrt {61} } \approx 20,2\)