Một đoàn tàu đang chạy thẳng đều với tốc độ \(35\)m/s thì phát hiện biển báo phía trước có một cây cầu yếu. Bắt đầu từ vị trí cách đầu cầu \(400\)m, lái tàu hãm phanh làm vận tốc của tàu giảm dần theo quy luật \(v\left( t \right) = - a{t^2} + b\)(m/s), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Biết rằng đúng lúc mũi tàu chạm đầu cầu thì vận tốc tàu giảm còn \(10\)m/s. Hỏi kể từ lúc bắt đầu hãm phanh, khi tàu đi được quãng đường \(288\)m thì độ lớn gia tốc thực tế của đoàn tàu lúc đó là bao nhiêu m/s²?

Tại thời điểm\(\left( {t = 0} \right)\)vận tốc của tàu là \(35\)m/s: \(v\left( 0 \right) = - a.{\left( 0 \right)^2} + b = 35 \Rightarrow b = 35\)
Vậy hàm vận tốc có dạng:\(v\left( t \right) = - a{t^2} + 35\)
Gọi \(T\)(giây) là thời gian kể từ lúc hãm phanh đến khi mũi tàu chạm đầu cầu
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
Vận tốc tại \(T\) là: \(v\left( T \right) = - a{T^2} + 35 = 10 \Rightarrow a{T^2} = 25 \Rightarrow a = \frac{{25}}{{{T^2}}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Quãng đường đi được sau thời gian \(T:\)
\(S\left( T \right) = \int\limits_0^T {\left( { - a{t^2} + 35} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( { - \frac{1}{3}a{t^3} + 35t} \right)} \right|_0^T = - \frac{1}{3}a{t^3} + 35T = 400\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)ta được: \( - \frac{1}{3} \cdot \frac{{25}}{{{T^2}}} \cdot {T^3} + 35T = 400 \Rightarrow T = 15\) suy ra \(a = \frac{{25}}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{9}\)
Vậy hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = - \frac{1}{9}{t^2} + 35\)
Gọi \({t_1}\) là khoảng thời gian cần tìm, ta có phương trình quãng đường:
\[S\left( {{t_1}} \right) = \int\limits_0^{{t_1}} {\left( { - \frac{1}{9}{t^2} + 35} \right){\rm{d}}t} = 288 \Leftrightarrow \left. {\left( { - \frac{1}{{27}}{t^3} + 35t} \right)} \right|_0^{{t_1}} = 288 \Leftrightarrow t_1^3 - 945{t_1} + 7776 = 0 \Rightarrow {t_1} = 9\]
Gia tốc của đoàn tàu là:\(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {\left( { - \frac{1}{9}{t^2} + 35} \right)^\prime } = - \frac{2}{9}t\)
Tại thời điểm \({t_1} = 9\) gia tốc thực tế là: \[a\left( 9 \right) = - \frac{2}{9} \cdot 9 = - 2\](m/\[{{\rm{s}}^2}\])
Độ lớn gia tốc lúc này là:\(\left| {a\left( 9 \right)} \right| = 2\) (m/\[{{\rm{s}}^2}\])