PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(1\) và cạnh bên \(SA = 2\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(AB\). (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Tọa độ quả bóng bay thứ nhất và thứ hai lần lượt là: \(A\left( {200;\, - 200;\,50} \right)\) và \(B\left( { - 100;\,100;\,40} \right)\)

Minh họa như sau:

Bài toán trở về khi \(MA + MB\) là nhỏ nhất thì ta cần tính \(OM\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(B\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và \(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó \(H\left( { - 100;\,100;\,0} \right)\) suy ra \(B'\left( { - 100;\,100;\, - 40} \right)\)

Ta có: \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\). Dấu bằng xảy ra khi \(M \equiv {M_0}\left( {a;\,b;\,0} \right)\)

Khi đó: \(\overrightarrow {A{M_0}}  = \left( {a - 200;\,b + 200;\, - 50} \right)\); \(\overrightarrow {AB'}  = \left( { - 300;\,300;\, - 90} \right)\)

Do \(\overrightarrow {A{M_0}} \parallel \overrightarrow {AB'} \) nên \(\frac{{a - 200}}{{ - 300}} = \frac{{b + 200}}{{300}} = \frac{5}{9} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{100}}{3}\\b =  - \frac{{100}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {M_0}\left( {\frac{{100}}{3};\, - \frac{{100}}{3};\,0} \right)\)

Vậy \(O{M_0} = \sqrt {{{\left( {\frac{{100}}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{100}}{3}} \right)}^2} + {0^2}}  \approx 47\) nên khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay này khoảng  mét.

Gọi \(A\)là biến cốSản phẩm do phân xưởng I sản suất.

Gọi \(B\)là biến cốSản phẩm đó là phế phẩm

Theo đề bài, ta có các dữ kiện sau: \(P\left( A \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,4\)

\(P\left( {B|A} \right) = 2\%  = 0,02 \Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\)

\(P\left( {B|\overline A } \right) = 5\%  = 0,05 \Rightarrow P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,05 = 0,95\)

Xét mệnh đề a)

Xác suất để chọn được một sản phẩm do phân xưởng I sản xuất và bị lỗi là:

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,6.0,02 = 0,012\)nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Ta có: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,6.0,02 + 0,4.0,05 = 0,032 = 3,2\% \)nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Nếu kiểm tra thấy sản phẩm được chọn là phế phẩm, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,012}}{{0,032}} = \frac{3}{8}\)

Nếu kiểm tra thấy sản phẩm được chọn là phế phẩm, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là: \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A  \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4.0,05}}{{0,032}} = \frac{5}{8}\)

Vì xác suất của \[P\left( {\overline A |B} \right) > P\left( {A|B} \right)\]nên sản phẩm lỗi ở phân xưởng II là cao hơn nên mệnh đề c) đúng.

Xét mệnh đề d)

Xác suất chọn được chính phẩm của toàn bộ nhà máy là: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,032 = 0,968\)

Biết rằng sản phẩm được chọn là chính phẩm, xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là: \(P\left( {A\backslash \overline B } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,6.0,98}}{{0,968}} = \frac{{147}}{{242}} \approx 60,7\% \)nên mệnh đề d) sai