Hai quả bóng bay được thả lên cùng một địa điểm. Sau một khoảng thời gian, quả bóng thứ nhất nằm cách địa điểm xuất phát 200m về hướng Đông và 200m về hướng Nam, đồng thời cách mặt đất 50m; quả bóng thứ hai nằm cách địa điểm xuất phát 100m về hướng Tây và 100m về hướng Bắc, đồng thời cách mặt đất 40m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai quả bóng này. Biết rằng so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai quả bóng bay là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay này (Đơn vị: mét) (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Nhận thấy hai đường thẳng \(SD\) và \(AB\) chéo nhau.

Gọi \(M,N,O\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;CD,AC\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel CD\\CD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB\parallel \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {M,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ\(MH \bot SM,\left( {H \in SM} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot CD\;\left( {Do\;CD \bot \left( {SOM} \right),OH \subset \left( {SOM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\)\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{\frac{{7{a^2}}}{2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} = \frac{{30}}{{7{a^2}}}\)

Khi đó $OH=\frac{a\sqrt{210}}{30}\Rightarrow d\left(AB,SD\right)=2OH=a\sqrt{\frac{14}{15}}\approx \boxed{\mathrm{0,97}}$.

Gọi \(A\)là biến cố “Cuộc gọi rác”

Gọi \(B\)là biến cố “Điện thoại đổ chuông”

Từ đề bài ta có : \(P\left( A \right) = 0,1 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,99\)

Xác suất để một cuộc gọi rác vượt qua được cả hai ứng dụng:\(P\left( {B|A} \right) = \left( {1 - 0,8} \right).\left( {1 - 0,7} \right) = 0,06\)

Xác suất để một cuộc gọi đúng vượt qua được cả hai ứng dụng:

\(P\left( {B|\overline A } \right) = \left( {1 - 0,01} \right).\left( {1 - 0,02} \right) = 0,9702\)

Tính xác suất điện thoại đổ chuông:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1.0,06 + 0,9.0,9702 = 0,87918\)

Xác suất cuộc gọi đó là cuộc gọi đúng khi biết điện thoại đổ chuông: $P\left(\overline{A}|B\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9702}}{\mathrm{0,87918}}\approx \boxed{\mathrm{0,99}}$