Một nhà máy có hai phân xưởng I và II cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng I sản xuất 60% sản lượng, phân xưởng II sản xuất 40% sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 5%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy

Gọi \(A\)là biến cốSản phẩm do phân xưởng I sản suất.

Gọi \(B\)là biến cốSản phẩm đó là phế phẩm

Theo đề bài, ta có các dữ kiện sau: \(P\left( A \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,4\)

\(P\left( {B|A} \right) = 2\%  = 0,02 \Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\)

\(P\left( {B|\overline A } \right) = 5\%  = 0,05 \Rightarrow P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,05 = 0,95\)

Xét mệnh đề a)

Xác suất để chọn được một sản phẩm do phân xưởng I sản xuất và bị lỗi là:

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,6.0,02 = 0,012\)nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Ta có: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,6.0,02 + 0,4.0,05 = 0,032 = 3,2\% \)nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Nếu kiểm tra thấy sản phẩm được chọn là phế phẩm, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,012}}{{0,032}} = \frac{3}{8}\)

Nếu kiểm tra thấy sản phẩm được chọn là phế phẩm, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là: \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A  \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4.0,05}}{{0,032}} = \frac{5}{8}\)

Vì xác suất của \[P\left( {\overline A |B} \right) > P\left( {A|B} \right)\]nên sản phẩm lỗi ở phân xưởng II là cao hơn nên mệnh đề c) đúng.

Xét mệnh đề d)

Xác suất chọn được chính phẩm của toàn bộ nhà máy là: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,032 = 0,968\)

Biết rằng sản phẩm được chọn là chính phẩm, xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là: \(P\left( {A\backslash \overline B } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,6.0,98}}{{0,968}} = \frac{{147}}{{242}} \approx 60,7\% \)nên mệnh đề d) sai